問題の答えを忘れてしまって･･･

なぞなぞではんくて、名前そのもので「不断草」ふだんそう
というものがあるそうです。見たことないですけど。
別名、唐チシャとも呼ばれていて、アカザ科の1-2年草です。
南ヨーロッパ原産で、日本へは江戸時代に在来種が、明治時代に西洋種が入ったそうです。家庭菜園にも向いているそうです。

この問題には「これだ！」という答えがなくてただ色々候補は
あるので気に入ったもので納得して下さい。

１）温野菜（スイッチがオンの状態、つまりオフでないから切れない）

２）つくし（切っても切ってもくっつくしという事）

３）サラダ菜（皿だから切れない）

４）不断草（名前そのまま）

５）アスパラガス（ガスだから切れない）

６）水菜（水だから切れない）

７）フキ（不切）

８）いばらきれんこん（きれんという文字が入ってるから）

９）みつ野菜だー（三ッ矢サイダーだから切れない）

１０）かぶ（蕪）（草冠に無で蕪、つまり無いから切れない）

１１）キリンレモン（切れんレモンというダジャレ）

１２）南瓜（かぼちゃ）、西瓜（スイカ）などの当て字で書く野菜
　　（大根などと違い、切り離せないから）
　　（どこまでが「かぼ」でどこからが「ちゃ」か判らないから）

以上が他サイトで見た答えです。
一応、１）の温野菜が最有力候補らしいです（＾－＾）

切っても「うりふたつ」で「瓜」
なんてのもありましたね。