７台のエレベーター

一つの数字は最低でも３回でてこないといけないから…
数字は３×６＝最低でも１８個でてこないといけない。
一つのエレベーターは３つの数字しか持てないから
１８÷３＝６　最低でも６台のエレベーターが必要。

123　345　561
124　346　562

の６台。なんか作ってるとおもしろいですね。

５台とかになるとけっこうできますね。

じゃあ問題…というか疑問？です。
８台だと…どうなるんでしょうね？
１１台でできるのかな？

この問題、ひとりからしか返事が来ないのではないかと思いながらも、ひとりからは必ず来ると信じてだしました。予想どおりだったけど...
イさん。大正解です♪　（というよりも私の答えをイさんに確認してもらった感じ）♪　考え方も、予想どおり、私が考えていたのより全然いいです♪　もし、よろしければ、すごく長いんですけどおつきあい下さい。もちろんほかの人もＯＫです♪　（結構、♪気に入ってます）

私は、6階建てのときには、他の5階にいく道（ルート）が6×5÷2＝15本あって、一つのエレベーターで3つのルートを通れるから、15÷3＝5となるけど、これは引っかけで、偶数階では、123、145、162と必ず同じルートが2回出てくる（この場合は12で、無駄というか重複することになります）。一つの数字に対して、1回ずつ無駄があるとすると無駄のルートの数は、6÷2＝3。結局、15＋3＝18となって、最低18÷3＝6台必要。このあと、6台でできるかどうかを考えると、イさんが書いてくれたようになります。この場合、無駄なルートは、12、34、56になります。
7階建ての場合は、ルート数が7×6÷2＝21で、123、145、167のように無駄がないので、21÷3＝7台（最低）と考えていました。
5階建ての場合は、ルート数が5×4÷2＝10で、奇数階の場合、123、145のように無駄がなさそうですが、10÷3＝3ﾉ1となって、最低4台必要で、4×3－10＝2と二つのルートが無駄になります。具体的には、123、145、245、345で、45が3回出てくるんで二つのルートが無駄。イさんの考え方だと一つの数が2回ずつでてくるから、2×5＝10、あとは、10÷3＝3ﾉ1と同じになって、4台となりすっきりしてますね。
８階建て、やってみました（イさんの考え方で）。4×8÷3＝10ﾉ2で、11台。4回ずつ出てくる数字が７こで、5回ずつ出てくる数字が１こ。123、145、167、182、246、257、347、348、356、568、678（意外となれてくると早くできます。10分くらい）
次に、偶数階は、最初から無駄があることがわかったんで、奇数階だけを考えました。イさんの考え方を使わせていただきます。奇数階を2ｎ+１としますと、一つの数字は、ｎ回出てきますよね。（例えば、３階の時１回、５階の時2回、７階の時３回ﾉ）。そうすると、ｎ×（２ｎ＋１）より３ｍ　（ｍはエレベーターの数）の方が大きいか等しくなります。
ｎ　　２ｎ＋１（階数）　　ｎ×（２ｎ＋１）　　ｍ
１　　３　　　　　　　　　３　　　　　　　　　１
２　　５　　　　　　　　　１０　　　　　　　　４
３　　７　　　　　　　　　２１　　　　　　　　７
４　　９　　　　　　　　　３６　　　　　　　　１２
５　　１１　　　　　　　　５５　　　　　　　　１９
となり、３階建て、7階建て、９階建てのときに、ｎ×（２ｎ＋１）が３の倍数なので、無駄なくエレベーターをおくことができそうです。３階建て（超簡単）、7階建てのときには証明されているので、９階建て１２台に挑戦しました。
意外と簡単に（３分くらい）できました。無駄がない方が、きれいな答えになるんでやりやすいみたいです。８階建てで１１台で、９階建てが１２台というのはちょっと不思議ですよね。
（答え）123、145、167、189、247、258、269、348、359、367、469、568
ついでに、偶数階も考える（ｎ×２ｎより３ｍが大きい）とエレベーターの数は、階数、１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１ﾉにたいして、
エレベーターの数、０、１、１、３、４、６、７、１１、１２、１７、１９ﾉ
となりそうです。

ところで最後に質問なんですけど、実際にやってみなくても、できるってことがどうにかして証明できないでしょうか。

エレベーターが４つの階にとまれたらとか、ちらっと考えてみましたが、はまりそうなんでやめました。私の頭ではこの辺が限界です。明日からのGWとそのあとにある修学旅行、おもいっきりあそびます。文章も、分かりにくかったと思いますが、読んで下さってどうもありがとうございました♪

一応、済みにしますけど。コメントよろしくおねがいします。

あーちゃんとレスしたいー。
なんだけど、時間がないのでかるーく。

８階は感動です。
最低これだけ必要って考え方はイケてると思います。

で、詳しくは後で考えるとして…
＞ところで最後に質問なんですけど、実際にやってみなくても、できるってことがどうにかして証明できないでしょうか。

これはあれですね。
できないことの証明はかんたんだけど、できることの証明は難しいってやつですね。

じゃ、河口湖に行ってきます。

イさん。読んでくださって、ありがとうございました。
済に、しときますね。