必勝法

あれ？　問２ですけど、自分は８９を取れば勝ちで、先手を取ってまず８を取るというように考えたんですけど……。

あ、違う……。それじゃダメだ。考え直します。

問い２は間違えました。
正しくは、「必勝法は存在しない」。
相手が０を連発したらいつまで経っても終わらないか、
または相手に100取られるかしかありませんから。

問２：先手になって０を繰りかえせば、
相手は０を言えない訳ですから絶対勝てますよ。
（91～99のいずれかを言わざるを得ない）

> 先手になって０を繰りかえせば、相手は０を言えない訳ですから絶対勝てますよ。（91～99のいずれかを言わざるを得ない）

ゴリさんのやり方だと、先手が負けてしまう場合があります。例えば、ずっとやっていって、後手が9を出して累積82になった場合、先手0（累積82）、後手9（累積91）で、このあと先手は9を出せないので、後手の勝ちです。

ちょっと複雑ですが、考えてみました。
数字は累積で考えます。
まず、100をオーバーしてはいけないとき
累積99を1でいった場合は勝ちで、1以外でいった場合は負けである。
累積98をいった場合は必ず負けである。なぜなら、次に相手は、2もしくは1を言えるわけで、2を言えば100になり、1を言えば累積99を1でいった場合になり相手が勝つからである。
同様にして、
累積97を3でいった場合は勝ちで、3以外でいった場合は負けである。
累積96を4でいった場合は勝ちで、4以外でいった場合は負けである。
累積95を5でいった場合は勝ちで、5以外でいった場合は負けである。
累積94をいった場合は必ず負けである。
累積93を7でいった場合は勝ちで、7以外でいった場合は負けである。
累積92をいった場合は必ず負けである。
累積91を9でいった場合は勝ちで、9以外でいった場合は負けである。
というわけで、勝てる可能性は6通りにしぼられます。
次に、累積91を9でいく場合は、累積82から9をだせばよい、同様に累積73から9を出せば良いとかんがえると、
(1)100,91,82,73,64,55,46,37,28,19,10が、勝ちパターンである。
同様に、累積93を7でいく場合の勝ちパターンは、
(2)100,93,86,79,72,65,58,51,44,37,30,23,16,9
同様に、累積95を5でいく場合は、
(3)100,95,90,85,80,75,70,65,60,55,50,45,40,35,30,25,20,15,10,5
一方、累積94を4でいく場合は、
100,96,92,88….となるはずだけど、途中に92があるので負けてしまう。従って、勝ちパターンはない。
同じく、累積97を3でいった場合、累積99を1でいった場合にも勝ちパターンは存在しない。
これで、勝ちパターンは３通りにしぼられます。
ここからが、頭がこんがらがるのですが、
(1),(2),(3)のなかには、同じ数字がでてきます。
10,30,37,55,65
この数字をいった時に、勝ちパターンを崩されてしまいます。
ここの説明がうまくできないのですが、最後の65をいった方は、そのあと相手に勝ちパターンを使われるので、必ず負けです。
また、55をいった場合は、9でいった場合にはそのまま勝てますが、5からいった場合には65にいきつくので、まけます。
こう考えると、65までの唯一の勝ちパターンは、(1)となります。
ただし、このパターンを相手は、崩そうと考えますので、勝つにはもうひと頑張り必要です。

私が考えた勝つ方法を書きます。
まず、(1)で累積10を9で言うために、最初に0を言います。
相手が、次に1をいってくれれば、勝ちパターンにはまりますので、次に9をいいます。相手が、他の数をいった場合には、自分はとにかく0を言ってがんばります。ただし、勝ちパターン(1)のチャンスがあるときには、0をいってはいけません。例えば、相手の累積が37になったら、9を言います。
こうやって、64までいきます。
65以降は、作戦を変えなければいけません。なぜなら、勝ちパターン(1)だけでなく、(2),(3)でも勝てるようになるからです。そこで、上の数列を見て91,82,73のときは9を 93,86,79,72のときは7を95,90,85,80,75,70のときは５を出します。勝ちパターン以外の場合はひたすら0です。91以上のときは、最後の詰めですが、最初の累積91～99の作戦で勝てます。これでいくと、最後には先手が必ず勝てます。

累積が100をオーバーしても勝ちの場合は簡単です。これは、最初から最後まで、(1)の勝ちパターンを繰り返せばいいのです。他の必勝法はありません。この場合も先手の最初は０です。

面白い問題を出してくれてありがとうございました。学校の勉強よりおもしろい。ちょっと、うまく説明できなかったんで、ともさんのもっとすばらしい解答を期待しています。

みなさん、解答ありがとうございます。
natsuさんのように、何パターンも場合わけをし、必勝法を探すのも一つの手ですが、問いはあくまで、

?@、?Aで必勝法が存在するのは、それぞれ、先手、後手どちらですか？

なので、必勝法を明らかにする必要はありません。
どちらが勝つか、また、その理由、でけっこうです。
ちなみに必勝法は存在します。パターンが有限なので。
さらにちなみにnatsuさんの解答を見れば予想できるように必勝法は非常に複雑です。
文章で載せるのは困難をきわめます。

純粋に数学の問題です。
僕もうろ覚えなんで、もし穴があったらご指摘ください。

それならば、大分やさしくなりますね。
必勝法が存在するとします。
先手は「0」を選びます。その後、後手は1～9までのいずれかを選ぶことになります。もしも、後手に必勝法があるとすれば、（たとえばxをだせば必勝だとすると）、0の代わりに最初に先手がその数xを選べば必勝ですので、後手の必勝法はありません。
従って、先手必勝です。

せっかくなんで、後手がだしたあとの累積数によって、
先手がなにを出せばいいかをかいておきます。

誰かが、穴をみつけて、先手をやぶってくれるとうれしいんだけど。

後手の累積数に対する先手の必勝法
最初に0をだす。

後手累積数 先手 先手が出した後の累積
1 9 10
10 9 19
19 9 28
28 9 37
37 9 46
46 9 55
55 9 64
64 9 73
65 5または7 70または72
70 5 75
72 7 79
73 9 82
75 5 80
79 7 86
80 5 85
82 9 91
85 5 90
86 7 93
90 5 95
91 9 100
92 4または8 96または100
93 7 100
94 3または6 97または100
95 5 100
96 4 100
97 3 100
98 1または2 99または100
99 1 100

これ以外の数のときは先手は0をだす。

二度も問題読み違えました。
natsuさんすごいです。

これ面白いです。
私もてっきりゴリさんの解答で完璧だと思い込んでました。

> 後手が9を出して累積82になった場合、先手0（累積82）、後手9（累積91）で、このあと先手は9を出せないので、後手の勝ちです。

これには全く気付きませんでした。
詰め将棋で、完璧に詰んだと思っていたら、思いもかけない合い駒をされたような気分ですね。

ただ気になったことがひとつだけ。
100ちょうどにしないと駄目なのか。
つまり、100を超えてしまったら勝ちなのか負けなのか。
これは問題に初めから明記しなければ、不備なのではないでしょうか。
それによって随分手順が変わるような気がします。
(おそらくは、どちらでも先手必勝なのでしょうが)

natsuさん、↓で正解です☆

> 先手は「0」を選びます。その後、後手は1～9までのいずれかを選ぶことになります。もしも、後手に必勝法があるとすれば、（たとえばxをだせば必勝だとすると）、0の代わりに最初に先手がその数xを選べば必勝ですので、後手の必勝法はありません。
> 従って、先手必勝です。



僕が用意してた答えは、おんなじですが


?B先手、後手で、０～９の好きな数字を交互に言い、
累積が先に１００になったら勝ち。
ただし相手が言った数を連続して使ってはいけない。
先手の最初の一手だけは１～９の範囲で数字を選ぶ。

というゲームを考えた場合、これにも必勝法は存在します。

i)?Bにおいて先手が勝つ場合
?Aにおいても同じことをすることで先手必勝

ii)?Bにおいて後手が勝つ場合
?Aのゲームでは先手が０をいうことで先手必勝




と、こんな感じでした。
natsuさんの必勝パターンについてはそのうち確認し
僕も考えてみようかなっておもってます。

で、肝心の累積がぴったし１００かどうかですが、
最初は１００以降としていました。
けど、ちょうど１００ってのもおもしろいなぁって思って検討してました
正解には影響はありませんが、ルールが不透明だと
ちょっとやる気なくなりますよね。
早いうちにはっきりさせとかなくてすみません。

この問題は?@と違い、たとえ必勝法が明らかにならなくても
必ず先手が勝つことを示すことができるので、
ちょっとおもしろいなって思って、問題出してみました。
最初は累積１０００にしようかな、とか思ったりしてました。

最後に解答してくださった皆様ありがとうございました。
忙しくてあんまりいじれなかったのが心残りです(^_^;)

そうですね。100を越えても勝ちであれば、私が前に書いたように簡単になります。累積が92～99になった場合に必ず負けになりますから、１番と同様ほとんど瞬殺に．．．相手の累積が91,82,73,64,55,46,37,28,19,10,1になったときに９を出して、それ以外のときに0を出します。累積が92～99になったら、100以上になるような数をだします。
ただ、ともさんの問題の場合、先手、後手のどちらに必勝法があるかというもんだいなので、「100ちょうどにしないと駄目なのか。」というのは、どっちでも関係ないことになりますね。問題をよく読みなさいとは、いつも言われてるんですけど。
こんなことばかりやってるんで、学校の勉強についていけなくなりそう。