嘘つき殺人事件（矛盾版）

なんか、嘘つき問題ばっかりですいません。

殺人事件がおきて、Ａ､Ｂ､Ｃの三人の容疑者が取り調べられています。
犯人だけが嘘つきで､他の２人は正直者です。

刑事（Ａに向かって）「お前が殺したのか？」
Ａ「………」（声が小さくて聞き取れない）
Ｂ「今､Ａは『俺は殺していない』って言ったんだ。
　　当然､俺も犯人じゃないぜ。」
Ｃ「Ｂは嘘つきだ。俺は犯人じゃないぜ。」

嘘つきパズルの得意な刑事は、Ｃを犯人として逮捕しました。
彼はこう考えました。

無実の人は正直なので自分が犯人ではないと言う。
犯人は嘘つきなので､これもまた自分が犯人ではないと言う。
よって、「Ａが『俺は殺していない』」と言ったＢの供述は真実だ。
Ｂは犯人ではない。
では「Ｂは嘘つきだ」と言ったＣこそが嘘つきだ。よって、犯人はＣだ！

しかし､何と！捜査を進めると､Ｂに不利な証拠がたくさん出てきて､
実際に犯人はＢでした。
パズル好きの刑事は納得がいきません。
刑事の推理はどこが間違っていたのでしょうか？