なぜ？

こんなふうになるんですか。知りませんでした。
高校生らしく、数式を使うと確かにそうなりますね。
（解き方は省略しますが）n番目の式について、両辺ともn(n+1)(2n+1)/2になりました。
n=1 のとき 3
n=2 のとき15
n=3 のとき42


イメージとしては、例えば３番目の式だと４こ数字が並んでるから
９＋１０＋１１＋１２＝１３＋１４＋１５
９と１３、１０と１４、１１と１５でそれぞれ差が４
それを最後の数１２（3x4）で補う。
n番目の式のあたまは、nの2乗になるからお尻はn^2+n（n=3のとき12）
n^2+n＝n(n+1)でちょうど補う数(3x4)になる。

だめだ、ことばで、説明できない。
（楽しみにしてよう）

私はこう解きました。

ｎ番目の式の頭は必ずｎの二乗です。
そうなる理由は、
１＝１^２
１＋３＝２^２
１＋３＋５＝３^２
１＋３＋５＋７＝４^２
　　　・
　　　・
　　　・

という法則があります。
ｎが５だとすると
１番目は３項
２番目は５項
３番目は７項
４番目は９項
と、必ず２項ずつ増えていきます。
それに５番目の頭を加えると２５項目になるので、かならずｎ番目の頭はｎの二乗になります。
また、ｎ番目の右側はｎ項です。そして左側はｎ+１項です。
ｎ番目の右側の１項目の数は左側の２項目の数よりｎ多いです。
ｎ番目の右側の２項目の数は左側の３項目の数よりｎ多いです。
ｎ番目の右側の３項目の数は左側の４項目の数よりｎ多いです。
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・

ｎ番目の右側はｎ項、左側はｎ+１項なのでこれがｎ回繰り返されられます。
左側は右側にｎ＾２の差をつけられているので、左側にｎ＾２の数を補います。

ｎが４だとすると
１６＋１７＋１８＋１９＋２０＝
　　　２１＋２２＋２３＋２４
　　　 ↑ 　 ↑ 　 ↑ 　 ↑
矢印の上にある数字の差はすべて４です。
それが４つあるので左側に１６を足せば左側も右側も同じになります。