解答数
191
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FILE No.12406REOPENED
ノナ星人との休息
論理出題 kikki2010-06-03
事件概要
これは遠い未来の話…、何処か遠くの星からノナ星人と名乗る宇宙人が(以下略。(状況設定などは「ヘキサ星人との遭遇」を参照して。)
彼らの両手の指の数は１８本(片手に９本づつ)なので、彼らは十八進法を使って数を数えます。
出題者より(´ω`)o0O「なんか状況設定がややこしいですが、とりあえず十八進法の問題です。前問と同様に、十進法での１０〜１７までの数は、十八進法でＡ〜Ｈで表されるものとします。」
問題：
よくある不思議な数の話として「９９９９９９÷７＝１４２８５７」となり割り切れて、またこの数に１〜６までの数を掛けても、使用されてる数は変わらず、
１４２８５７×２＝２８５７１４
１４２８５７×３＝４２８５７１
１４２８５７×４＝５７１４２８
１４２８５７×５＝７１４２８５
１４２８５７×６＝８５７１２４
となって、同じ６つの数が「２、８、５、７、１、４」の順でぐるぐる循環する…というものがあります(このサイトの過去問にもありましたが)。そして、このような数「１４２８５７」は『ダイヤル数』と呼ばれます。
けれども十八進法で計算すると、上のような関係は崩れてしまいます…が、十八進法で考えても『ダイヤル数』となるものが存在します。
その一例を挙げると、「ＨＨＨＨＨＨＨＨＨＨ」を「 ？ 」で割ったときに出てくる数はダイヤル数となります。ではこのとき「 ？ 」に入る数は何でしょうか？ 「１〜９、Ａ〜Ｈ」の中から１文字選んで半角で入力して下さい。
彼らの両手の指の数は１８本(片手に９本づつ)なので、彼らは十八進法を使って数を数えます。
出題者より(´ω`)o0O「なんか状況設定がややこしいですが、とりあえず十八進法の問題です。前問と同様に、十進法での１０〜１７までの数は、十八進法でＡ〜Ｈで表されるものとします。」
問題：
よくある不思議な数の話として「９９９９９９÷７＝１４２８５７」となり割り切れて、またこの数に１〜６までの数を掛けても、使用されてる数は変わらず、
１４２８５７×２＝２８５７１４
１４２８５７×３＝４２８５７１
１４２８５７×４＝５７１４２８
１４２８５７×５＝７１４２８５
１４２８５７×６＝８５７１２４
となって、同じ６つの数が「２、８、５、７、１、４」の順でぐるぐる循環する…というものがあります(このサイトの過去問にもありましたが)。そして、このような数「１４２８５７」は『ダイヤル数』と呼ばれます。
けれども十八進法で計算すると、上のような関係は崩れてしまいます…が、十八進法で考えても『ダイヤル数』となるものが存在します。
その一例を挙げると、「ＨＨＨＨＨＨＨＨＨＨ」を「 ？ 」で割ったときに出てくる数はダイヤル数となります。ではこのとき「 ？ 」に入る数は何でしょうか？ 「１〜９、Ａ〜Ｈ」の中から１文字選んで半角で入力して下さい。
封印された解答を開く
B
ヒントなし。
解説ちなみに削除前の「HHHH」の方は「５」が正解でした。「桁数＋１」と推論出来ないかな…と思ってみたのですが、強引でしたかね。
ちなみにそもそも何故９９９９９９が７で割り切れるのか、ですがそれは単純な偶然ではなく、背景にはフェルマーの小定理が存在しているものだと思われます(多分)。
フェルマーの小定理とは「ｐを素数とし又ｎとｐが互いに素のとき、ｎのｐ−１乗はｐで割ると余りが１になる。」というもの。上の例に当てはめると、ｐ＝７、ｎ＝１０です、どういうことかと言うと、１０の６乗(１００００００)は７で割ると１余る、ということが言えます。
つまりこのから１０の６乗から１引いた数９９９９９９は７で割り切れる、ということが言えます、よ、ね？汗
同様に十八進法についても考えれば、「HHHHHHHHHH」は１８の１０乗から１引いた数ですので、これは１１(B)で割り切れることになります。(ｐ＝１１、ｎ＝１８)
次に、何故ダイヤル数になるか？について述べます。微妙に言葉で説明するのが難しいのですが、１÷７を筆算の形で書いていくとその仕組みは解るかなと思います。表上に見える商の部分「１４２８５７」に規則は見出しにくいのですが、余りの部分に注目すると１〜６の余りが綺麗に循環していくことになります。これに２を掛けた数(要は２÷７の計算)は、余り２の部分から計算していくことになり、全く同じ計算をしていくのが解るでしょうか。
同様に十八進法に於いても、１÷Bは１〜Aまでの余りが全て循環していくため、ダイヤル数となります。ただしダイヤル数となるものと、ならないものがあるので要注意(詳しくはコメントへ)
例えば十進法表記で１÷１７で出てくる循環小数(０５８８２３８２９４１１７６４７)はダイヤル数となるけれど、１÷１３はそうはならない。けれども「１・３・４・９・１０・１２」と「２・５・６・７・８・１１」を１３で割って出てくる小数には面白い規則があります！暇な人はやってみて！
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以下後程纏めますが、検索用などにメモ。
「循環小数・循環節・オイラーのφ(ファイ)関数・合同式・ダイヤル数・フェルマーの小定理・カーマイケルの定理」、
十進法に於いて、１÷ｐの循環小数がダイヤル数となる１００までの素数：「7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97」
ちなみにそもそも何故９９９９９９が７で割り切れるのか、ですがそれは単純な偶然ではなく、背景にはフェルマーの小定理が存在しているものだと思われます(多分)。
フェルマーの小定理とは「ｐを素数とし又ｎとｐが互いに素のとき、ｎのｐ−１乗はｐで割ると余りが１になる。」というもの。上の例に当てはめると、ｐ＝７、ｎ＝１０です、どういうことかと言うと、１０の６乗(１００００００)は７で割ると１余る、ということが言えます。
つまりこのから１０の６乗から１引いた数９９９９９９は７で割り切れる、ということが言えます、よ、ね？汗
同様に十八進法についても考えれば、「HHHHHHHHHH」は１８の１０乗から１引いた数ですので、これは１１(B)で割り切れることになります。(ｐ＝１１、ｎ＝１８)
次に、何故ダイヤル数になるか？について述べます。微妙に言葉で説明するのが難しいのですが、１÷７を筆算の形で書いていくとその仕組みは解るかなと思います。表上に見える商の部分「１４２８５７」に規則は見出しにくいのですが、余りの部分に注目すると１〜６の余りが綺麗に循環していくことになります。これに２を掛けた数(要は２÷７の計算)は、余り２の部分から計算していくことになり、全く同じ計算をしていくのが解るでしょうか。
同様に十八進法に於いても、１÷Bは１〜Aまでの余りが全て循環していくため、ダイヤル数となります。ただしダイヤル数となるものと、ならないものがあるので要注意(詳しくはコメントへ)
例えば十進法表記で１÷１７で出てくる循環小数(０５８８２３８２９４１１７６４７)はダイヤル数となるけれど、１÷１３はそうはならない。けれども「１・３・４・９・１０・１２」と「２・５・６・７・８・１１」を１３で割って出てくる小数には面白い規則があります！暇な人はやってみて！
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以下後程纏めますが、検索用などにメモ。
「循環小数・循環節・オイラーのφ(ファイ)関数・合同式・ダイヤル数・フェルマーの小定理・カーマイケルの定理」、
十進法に於いて、１÷ｐの循環小数がダイヤル数となる１００までの素数：「7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97」
捜査データ
正解数
27
正解率
14%
論理カテゴリ平均 19%
評価
6 pt ／ 歴代 4567位
Good / Bad
5 / 1
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コメント
4
証言記録
正解率
14%
証言記録 (4)
taka正解者
う〜ん一発だったのに１８進数でした＾＾；
ありがとうございました。
ありがとうございました。
若正解者
削除されてしまったらしいので、姑息にも正解数稼ぎにまた正解させてもらいました^^;
ダイアル数は面白そうなのですが、フマキラーとの直接の関係があるかどうかが悩ましいですね。
フマキラー(もう、フェルマーといってもいい？)のまた癖ものなのが、p-1が出てくるところで、
私は素人考えで p-1 と対象の数(基数？)との間に共通因子があるかどうかもかかわっているような気がしています。
例えば、p=7 であれば p-1=2*3 になりますよね？
トランプシャッフル問題でもその傾向が出ましたが、2 と 3 のパターンにはまるものがある。
そのあたりが何か影響していないかなと気になってしまっています。
ダイアル数は面白そうなのですが、フマキラーとの直接の関係があるかどうかが悩ましいですね。
フマキラー(もう、フェルマーといってもいい？)のまた癖ものなのが、p-1が出てくるところで、
私は素人考えで p-1 と対象の数(基数？)との間に共通因子があるかどうかもかかわっているような気がしています。
例えば、p=7 であれば p-1=2*3 になりますよね？
トランプシャッフル問題でもその傾向が出ましたが、2 と 3 のパターンにはまるものがある。
そのあたりが何か影響していないかなと気になってしまっています。
kikki
フェルマーの定理！とは言ったものの、確かに関係性…というと悩ましいのですよね。
とかくｎ進法の元で、１÷ｐで出てくる循環小数がダイヤル数となるためにはｎ＾(ｐ−１)＝１(modｐ)が「必要条件である」ということぐらいですかね。
それプラス、ｎ＾ｍ＝１(mod) を満たす自然数ｍがｐ−１＞ｍ に存在しないことがダイヤル数となるための必要十分条件だということ。
ただし、その関係性を完全に法則化(合同式などを使えばある程度は法則化見えるけど)、する材料がなく困っているところです。
とかくｎ進法の元で、１÷ｐで出てくる循環小数がダイヤル数となるためにはｎ＾(ｐ−１)＝１(modｐ)が「必要条件である」ということぐらいですかね。
それプラス、ｎ＾ｍ＝１(mod) を満たす自然数ｍがｐ−１＞ｍ に存在しないことがダイヤル数となるための必要十分条件だということ。
ただし、その関係性を完全に法則化(合同式などを使えばある程度は法則化見えるけど)、する材料がなく困っているところです。
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kikki
＞くーりーさん
え？(^ω^;) いやその通りで「正解数−１」桁並ぶ訳なんですが、正解が２つって何と何なんでしょう？桁数なんて１つに限られません…？
「例えば」については、他にもダイヤル数になる組み合わせもあるけれどその一例として取り上げてるので「例えば」と入れてます。勿論、別解というのは有り得ませんが。
え？(^ω^;) いやその通りで「正解数−１」桁並ぶ訳なんですが、正解が２つって何と何なんでしょう？桁数なんて１つに限られません…？
「例えば」については、他にもダイヤル数になる組み合わせもあるけれどその一例として取り上げてるので「例えば」と入れてます。勿論、別解というのは有り得ませんが。
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