解答数
151
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FILE No.14647REOPENED
整数の性質
論理出題 じゃーじまん2011-02-26
事件概要
1000a+100b+10c+dであらわされる4桁の整数があります。
(aは1~9の整数、b,c,dは0~9の整数です。)
(b+d)-(a+c)=11
100a+10b+c-9d=49
100a+10b+c-5d=85
これら3つの等式が成り立つとき、この4桁の整数は何になるでしょうか？
(答えを4文字の半角数字で入力してください。)
例:1010
(aは1~9の整数、b,c,dは0~9の整数です。)
(b+d)-(a+c)=11
100a+10b+c-9d=49
100a+10b+c-5d=85
これら3つの等式が成り立つとき、この4桁の整数は何になるでしょうか？
(答えを4文字の半角数字で入力してください。)
例:1010
封印された解答を開く
1309
ヒント前提の式と下2つの等式で求めることができます。
解説まず、1000a+100b+10c+d=Xと置きます。
これを下2つの等式と組み合わせると、
91d=X-490
51d=X-850
が得られます。
ここからXを求めると1309となります。
が、
実はこの問題、3つの等式の性質を知っているともう少し楽に解くことができます。
1つ目の式は、『1つ置きの差が11の倍数になっている』のをあらわしていて、この時点で4桁の整数は11の倍数であることがわかります。
2つ目の式は、『下1桁の数を除いた3桁の数から下1桁の9倍の数を引いた値が7の倍数になっている』のをあらわしていて、この時点で4桁の整数は7の倍数であることがわかります。
3つ目の式は、『下1桁の数を除いた3桁の数から下1桁の5倍の数を引いた値が17の倍数になっている』のをあらわしていて、この時点で4桁の整数は17の倍数であることがわかります。
これらのことから4桁の整数は11*7*17=1309の倍数であることがわかり、下2つの等式の右辺から他の約数が存在しえないのがわかり答えは1309となります。
お付き合いありがとうございました。
注)ここから下は等式の説明です。
1000a+100b+10c+d=11X
(a+c)-(b+d)=x
x=-11X+1001a+99b+11c
x=11*(-X+91a+9b+c)
1000a+100b+10c+d=7X
100a+10b+c-9d=x
x=-63X+9100a+910b+91c
x=7*(-9X+1300a+130b+13c)
1000a+100b+10c+d=17X
100a+10b+c-5d=x
x=-85X+5100a+510b+51c
x=17*(-5X+300a+30b+3c)
余談です。中学生の時に塾で暗記させられた公式集が実家の掃除中にででてきました。この問題の約数判断法も載っていたのですが、なぜそうなるかを考えられる年齢になると数学も面白いものですね〜
これを下2つの等式と組み合わせると、
91d=X-490
51d=X-850
が得られます。
ここからXを求めると1309となります。
が、
実はこの問題、3つの等式の性質を知っているともう少し楽に解くことができます。
1つ目の式は、『1つ置きの差が11の倍数になっている』のをあらわしていて、この時点で4桁の整数は11の倍数であることがわかります。
2つ目の式は、『下1桁の数を除いた3桁の数から下1桁の9倍の数を引いた値が7の倍数になっている』のをあらわしていて、この時点で4桁の整数は7の倍数であることがわかります。
3つ目の式は、『下1桁の数を除いた3桁の数から下1桁の5倍の数を引いた値が17の倍数になっている』のをあらわしていて、この時点で4桁の整数は17の倍数であることがわかります。
これらのことから4桁の整数は11*7*17=1309の倍数であることがわかり、下2つの等式の右辺から他の約数が存在しえないのがわかり答えは1309となります。
お付き合いありがとうございました。
注)ここから下は等式の説明です。
1000a+100b+10c+d=11X
(a+c)-(b+d)=x
x=-11X+1001a+99b+11c
x=11*(-X+91a+9b+c)
1000a+100b+10c+d=7X
100a+10b+c-9d=x
x=-63X+9100a+910b+91c
x=7*(-9X+1300a+130b+13c)
1000a+100b+10c+d=17X
100a+10b+c-5d=x
x=-85X+5100a+510b+51c
x=17*(-5X+300a+30b+3c)
余談です。中学生の時に塾で暗記させられた公式集が実家の掃除中にででてきました。この問題の約数判断法も載っていたのですが、なぜそうなるかを考えられる年齢になると数学も面白いものですね〜
捜査データ
正解数
73
正解率
48%
論理カテゴリ平均 19%
評価
3 pt ／ 歴代 7819位
Good / Bad
4 / 0
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コメント
7
証言記録
正解率
48%
証言記録 (7)
批評家正解者 これは
数学そのまんまですか！
じゃーじまん すみません。
＞批評家さん
ごめんなさい。次はもう少し推敲して投稿します。
ごめんなさい。次はもう少し推敲して投稿します。
批評家 いえいえ
驚いただけです。
論理って、数学ですしね。
論理って、数学ですしね。
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ああ正解者
別解のほうが楽と書いてるがどう考えても10倍手間かかる
よっしー正解者
解説の入力ご苦労様です。
勉強になりました。
勉強になりました。
じゃーじまん 確かに・・・
＞ああさん
受験生の頃は暗記していたので別解の方がはやかったのですが、論理を考えてしまうと別解の方が遅いですね〜
受験生の頃は暗記していたので別解の方がはやかったのですが、論理を考えてしまうと別解の方が遅いですね〜
じゃーじまん ありがとうございます。
＞よっしーさん
こちらこそ稚拙な文章を読んでいただきありがとうございました。
こちらこそ稚拙な文章を読んでいただきありがとうございました。
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