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FILE No.15314REOPENED
0が10個並ぶのは？
その他出題 ありだみかん2011-04-13
事件概要
以下のような数列がある。
110111001011101111000100110101011110011011110111110000・・・
この数列において初めて0が10個並ぶのは何番目からか？
（例えば初めて0が3つ並ぶのは19番目からである。）
※半角で数字のみ答えてください。
110111001011101111000100110101011110011011110111110000・・・
この数列において初めて0が10個並ぶのは何番目からか？
（例えば初めて0が3つ並ぶのは19番目からである。）
※半角で数字のみ答えてください。
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9219
ヒント1と0といえば・・・
受験をひかえている高校三年生がいたら
ぜひチャレンジしてみてください。
（特にＴ大やＫ大の理系を目指そうなんて方は）
受験をひかえている高校三年生がいたら
ぜひチャレンジしてみてください。
（特にＴ大やＫ大の理系を目指そうなんて方は）
解説1,10,11,100,101,110,111,1000,・・・
まず、これが2進法で1,2,3・・・と順に並べた数列だと言う事に気づいたでしょうか？
これがわかればあとは数列の問題として処理すればいいんです。
もちろん、0が10個並ぶまで書きだしてみても良いでしょう。（時間はかかりますが・・・）
ここでは高校生で習う解き方で解いてみます。
まず、以下のように各数ごとに区切って見やすくします。
そうすればある程度法則性もみえてきます。
まず、0が1つ初めて並ぶのは10すなわち十進法で2(2の1乗)のときである。
つぎに0が2つ初めて並ぶのは100すなわち十進法で4(2の2乗)のときである。
よって0がn個初めて並ぶのは2のn乗のときである。
（2のn乗で初めて0がn個並ぶというのは明らかなのであえて証明は省く）
つぎに2のn乗のひとつ前の数は(2^n)-1であり11111・・・1のように1がn個並んで
できる数字であることにも気づくでしょう。
この1がn個並んでいるところまでの全て数字各桁の1,0の個数の合計をSnと定義する。
1 →S1
10
11 →S2
100 =2^2
101
110
111 →S3
1000 = 2^3
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111 →S4
10000 =2^4
・
・
・
11111・・・1 → Sn
10000・・・00 =2^n
そうすればS10+2が求めたい値である。
ここでSnを求めていく。
２進数の桁数ごとにグループ化して足しあわせていくと
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+・・・+n*2^(n-1) −−−?
と表すことが出来る。
ではこれを簡単な形に直していく。
両辺に2を掛けて
2Sn= 1*2^1+2*2^2+3*2^3+・・・+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n −−−?
ここで?-?をすると
-Sn=1+2+2^2+2^3+・・・+2^(n-1)-n*2^n
Sn=n*2^n-(1+2+2^2+・・・+2^(n-1))
=n*2^n-Σ2^(n-1)
=n*2^n-(2^n)+1
={(n-1)2^n}+1
すなわち
Sn={(n-1)2^n}+1
より
S10+2=9*2^10+3
=9219
となります。
ちなみに初めて0がn個並ぶのは何番目からか？
という問題の一般解は
{(n-1)2^n}+3
です。
※もっとスマートな解法を見つけた人は教えてください。
まず、これが2進法で1,2,3・・・と順に並べた数列だと言う事に気づいたでしょうか？
これがわかればあとは数列の問題として処理すればいいんです。
もちろん、0が10個並ぶまで書きだしてみても良いでしょう。（時間はかかりますが・・・）
ここでは高校生で習う解き方で解いてみます。
まず、以下のように各数ごとに区切って見やすくします。
そうすればある程度法則性もみえてきます。
まず、0が1つ初めて並ぶのは10すなわち十進法で2(2の1乗)のときである。
つぎに0が2つ初めて並ぶのは100すなわち十進法で4(2の2乗)のときである。
よって0がn個初めて並ぶのは2のn乗のときである。
（2のn乗で初めて0がn個並ぶというのは明らかなのであえて証明は省く）
つぎに2のn乗のひとつ前の数は(2^n)-1であり11111・・・1のように1がn個並んで
できる数字であることにも気づくでしょう。
この1がn個並んでいるところまでの全て数字各桁の1,0の個数の合計をSnと定義する。
1 →S1
10
11 →S2
100 =2^2
101
110
111 →S3
1000 = 2^3
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111 →S4
10000 =2^4
・
・
・
11111・・・1 → Sn
10000・・・00 =2^n
そうすればS10+2が求めたい値である。
ここでSnを求めていく。
２進数の桁数ごとにグループ化して足しあわせていくと
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+・・・+n*2^(n-1) −−−?
と表すことが出来る。
ではこれを簡単な形に直していく。
両辺に2を掛けて
2Sn= 1*2^1+2*2^2+3*2^3+・・・+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n −−−?
ここで?-?をすると
-Sn=1+2+2^2+2^3+・・・+2^(n-1)-n*2^n
Sn=n*2^n-(1+2+2^2+・・・+2^(n-1))
=n*2^n-Σ2^(n-1)
=n*2^n-(2^n)+1
={(n-1)2^n}+1
すなわち
Sn={(n-1)2^n}+1
より
S10+2=9*2^10+3
=9219
となります。
ちなみに初めて0がn個並ぶのは何番目からか？
という問題の一般解は
{(n-1)2^n}+3
です。
※もっとスマートな解法を見つけた人は教えてください。
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コメント
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すけきよ正解者
閃きました。
ありだみかん
＞すけきよさん
これまで、いくつかの数学的な問題を解かれましたので
あなたは数学の心得のある方なんだと予想しています。
そしてきっと今回もあなたは問いてくださると思ってました。
ありがとうございます。
ただ、この手の問題は喰い付いてくれる人が少ないので
出題者側としては少し物足りなさを感じるのですが
すけきよさんがいる限りは数学系の問題も出し続けますので
これからもよろしくお願いします。
これまで、いくつかの数学的な問題を解かれましたので
あなたは数学の心得のある方なんだと予想しています。
そしてきっと今回もあなたは問いてくださると思ってました。
ありがとうございます。
ただ、この手の問題は喰い付いてくれる人が少ないので
出題者側としては少し物足りなさを感じるのですが
すけきよさんがいる限りは数学系の問題も出し続けますので
これからもよろしくお願いします。
kikki正解者
高校時代が懐かしいですね。入試問題では数列は定義しておいてほしいですけれども。
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ありだみかん
＞kikkiさん
正解おめでとうございます。
これだけ並べればある程度、法則性は察して頂けると思ってたんですが
確かに入試問題に使おうと思ったらちゃんと定義しておかないと
いけないですね。
私も高校時代を懐かしみながら今の現役高校生に問いて欲しいなと
思いながらこの問題を作りました。
受験生にはこんなサイト見てる暇無いのかな・・・
自分が高校生のときは「大学への数学」って本の数学コンクールやったりしてました。
今でも売ってるのかな、あの雑誌・・・
正解おめでとうございます。
これだけ並べればある程度、法則性は察して頂けると思ってたんですが
確かに入試問題に使おうと思ったらちゃんと定義しておかないと
いけないですね。
私も高校時代を懐かしみながら今の現役高校生に問いて欲しいなと
思いながらこの問題を作りました。
受験生にはこんなサイト見てる暇無いのかな・・・
自分が高校生のときは「大学への数学」って本の数学コンクールやったりしてました。
今でも売ってるのかな、あの雑誌・・・
たけ正解者
今年受験です＾＾；
入試にもこういった遊び心のある問題が出てくれればなぁなんて
思ってしまいましたw とても面白かったです！
入試にもこういった遊び心のある問題が出てくれればなぁなんて
思ってしまいましたw とても面白かったです！
ありだみかん
＞たけさん
受験生に解いてもらえて嬉しいです。出題した甲斐がありました。
とにかく第一志望の大学に行けるように頑張ってくださいね。
この一年間を我慢すればきっと素晴らしい大学生活が待ってますので^^
健闘を祈ります！
受験生に解いてもらえて嬉しいです。出題した甲斐がありました。
とにかく第一志望の大学に行けるように頑張ってくださいね。
この一年間を我慢すればきっと素晴らしい大学生活が待ってますので^^
健闘を祈ります！
かじ正解者
ふぅ
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