サム・ロイドのパズル6

答 ３５．

最小時は明らかに断片数７だろうから、最大の場合を考えましょう。

チーズが 猛烈に大きいときを考えれば チーズの形状等は
断片の数に影響しませんから、空間全体を平面で切ることを考えて
差し支えありません。また、断片が多くなるためには すべての
断面が平行ではなく、また 新たな断面は すでにある断片の角を
通らないようにすることになります。

ｋ回きった後、k+１回目に切るときのことを考えます。
ｋ＋１回目の切断はいくつかの断片を２つに分けることでしょう。
ではいくつの断片を２つにわけるのか？

それを考えるには、断面をみればよいでしょう。
断面には今までに切った断面との交線がｋ本だけ通っています。
このｋ本の直線で分けられた断面上の領域の数が ２つに分かれる断片の数です。

平面内にk本の直線があるとき、いくつの領域ができるでしょうか？
答は1+1+2+3+...+k = 1+(k+1)*k/2 個です。（これについては後述 ※）

よって k+1回目に切るとき 1+(k+1)*k/2個だけ断片が増えます。

0回切ったとき 断片1個
1回切ったとき 断片2個 （1個増えた）
2回切ったとき 断片4個 （1+1個増えた）
3回切ったとき 断片8個 （1+1+2個増えた）
4回切ったとき 断片15個 （1+1+2+3個増えた）
5回切ったとき 断片26個 （1+1+2+3+4個増えた）
6回切ったとき 断片42個 （1+1+2+3+4+5個増えた）

つまり 最大で42個。7個との差は 35個。



※ 平面上にk本の直線があって 平面をいくつかの領域に分けているとします。
領域は最大でいくつできるでしょうか？
直線がk-1本引いてあるのちに、k本目を付け足すことを考えると、
k本面は なるべく 他の直線と平行にならないように、すでにある領域の
角をとおらないようにすることになります。
つまり、k本目の直線は 他のk-1個の直線と交わりますから、
k個の領域を通ることになり、k個の領域を２つにわけます。
結局、k本目を描くと 領域がｋ個増えます。

k=0なら 領域は 平面全体だけで、領域数1個。
k=1のときは １つ増えて 1+1=2個
k=2のときは ２つ増えて 1+1+2=4個
。。。
k本のときは 1+1+2+...+k=1+(k+1)*k/2個

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最小1　かな？
斜めに切って端にあわせるとして

最大16　かな？