箱の中で跳ね返るボール

ヒント１、箱の４辺のそれぞれで、何回ボールが跳ね返るかを考える。

２、nが奇数と偶数で若干事情が違うことに注意。(出発したのと同じ方向から帰ってくる？それとも逆方向から帰ってくる？)

３、n=1,2,3,4ぐらいで考えてみて。ｎが大きくなっても法則は同じ。

解説n=2010 のとき 2010通り、n=2015 のとき 1008((2015+1)÷2)通りですね。

長方形に於いて、スタートする辺をA、対辺をB、両隣の辺をC、Dとします。辺A、Bだけに注目すればボールはスタート→B→A→B→A→…→B→ゴールというように反射を繰り返します。すなわち辺Bで跳ね返る回数をkとすれば辺Aで跳ね返る回数は(k-1)となります。

ここからはnが偶数と奇数の場合で少し状況が違うので、まずはn=2015の方から解説します。上の辺A、Bと同様に辺C、Dについても考えれば良く、反射総回数が奇数回であり辺A＋Bでの反射も奇数回なので、辺C＋Dでの反射回数は偶数回となります。よって辺Cと辺Dで跳ね返る回数はそれぞれ同じであることが解ります。今これをｍと置きましょう。

とすれば、(2k-1)+2m=2015、という式が成立します。そしてk≧1、m≧0となる整数k、mの値を考えれば良く、その組み合わせは1008通り。そしてそのkとmの値に対して唯一通りの軌道が存在します。ニ通り以上存在しないことはあるk、mの値に対する軌道を１つ考え、そこから軌道をどう動かしても同じk、mに対してスタート地点に戻るような道筋が引けないことを考えれば解る…はず。

n=2010の場合は、先程とは異なり辺C＋Dでの反射回数は奇数回になります。辺Cにぶつかった回数をm、辺Dにぶつかった回数を(m+1)としてn=2015のときと同様(k≧1、m≧0)にk、mの組み合わせを考えれば、2m+1+2k-1=2010で1005通り、逆に辺Cでの衝突回数が多い方も考えれば、合計2010通りあることが解ります(ヒント・コメントも参照して)。

↑うーん解り難いなぁ…ｎが偶数なら半分の地点から逆流するのがポイントなんです。ボールの通り道をぶつかった点で折り返して、一直線上に伸ばして考えると証明楽なんですが(交互に上下左右逆転した長方形が現れます)、でも図で説明したくても画像アップの仕方が良く解らんのよ(^^;)　文章で説明したんですが難しいですね。