箱の中で跳ね返るボール２

ヒント１、問題文の通り、解法は全て「一次関数」にあります。

解説中点　n=9999→5000−312＝4688通り
中点　n=10001→5001-2500＝2501通り
２：１内分　n=9999→5000−1666＝3334通り
２：１内分　n=10001→5001−555＝4446通り
の合計14969通り。

ぶつかった点で折り返し、また箱の頂点をｘｙ座標の格子点をみなして、一次関数を考えます。

中点、n=9999のときｘｙ座標に於いてスタートの点を(1/2、0)、ゴールの点を(1/2＋2m、10000−2m)とおけます。
(0≦m≦4999)として、y={(10000−2m)/2m}(x−1/2)(1/2≦x≦1/2＋2m)という直線の方程式を考えます。この直線が格子点にぶつかるのであれば、それは箱の角にぶつかるかることと同等。式を変形して「y＝(5000−m)(2x−1)/2m」これに m＝8(2t-1)(1≦t≦312)を代入すると、5000＝8×625なので、
y＝(8×625−8(2t-1))(2x-1)/16(2t-1)
y＝(313−t)(2x−1)/(2t-1)　と変形できて、これに対してx=t、3t-1、5t-2…15t-7を代入するとｙは必ず整数となる。(ｙが整数になるためにはｍ＝８×奇数の形で表せる必要性、尚且つ十分性がある。)

中点、n=10001のとき、上記と同様にすればy＝(5001−m)(2x−1)/2m　という式が成り立つ。m＝2t−1(1≦t≦2500) x＝t、2t−1に対しyは必ず整数となる。

２：１内分点、n=9999のとき、y={(10000−2m)/2m}(x−1/3)(1/2≦x≦1/2＋2m)という直線を考えます。通分・約分すると、y＝(5000−m)(3x−1)/3m。これに対し、m＝3t-1(1≦t≦1666)を代入すると、
y＝(5000−(3t-1))(3x-1)/3(3t-1)＝3(1667−t)(3x-1)/3(3t-1)＝(1667−t)(3x−1)/(3t−1) そしてx＝t、4t-1のときｙは整数となる。

２：１内分点、n=10001のときy＝(5001−m)(2x−1)/3m　5001＝3×1667より、m=3(3t-1)(1≦t≦555)に対してy＝(3×1667−3(3t-1))(3x-1)/9(3t-1)
y＝(9(t-556)(3x-1)/9(3t-1)＝(t−556)(3x−1)/(3t-1) このときx＝t,4t-1,7t-2…16t-5に対してｙは整数となる。