2000011

ヒントnを用いて方程式を立てたとき、定数項がどうなるか考えてみてください。

解説題意より、以下の等式が成り立つ。
2*n^6 + n + 1 = (n+1)^6 + 3*(n+1)^5 + (n+1)^4 + (n+1)^3 + 3*(n+1)^2 + 2*(n+1) + 2
これより、a,bを自然数とすると、
an + 1 = bn + 13
とおける。
この式を変形して、
(a-b)n = 12
上式より、a-bは整数、nは自然数であることと、n進数、n+1進数で表された数の各桁に登場している最大の数字が3であるため少なくともn≧4となることから、nは4か6か12となる。
今、a-bについて、
（a-bの定数項）=1-6-3*5-4-3-3*2-2=-35
であることより、
a-b≡-35 (mod n)
となることに注意しよう。
n=4と仮定すると、a-b=3となるが、上述より示されたa-b≡-35≡1 (mod 4)に矛盾。これよりn=4は不適。
n=6と仮定すると、a-b=2となるが、同様にa-b≡-35≡1 (mod 6)に矛盾。これよりn=6は不適。
よって、n=12