整数問題vol.1

ヒントAは楽勝だと思います。
Bも多分…

解説考え方は簡単だと思いますが、どうでしたか？
問A
いまnは自然数ゆえ、
n,n^2+1の偶奇は必ず異なります。
これより、nが奇数ならば、
n^2+1は偶数になります。
n≧2であるので、n^2+1>2 
しかし、2より大きい偶数の素数はありません。
したがって、nは奇数でないので、偶数になります。
nは偶数かつ素数であることが分かります。
∴n=2のときだけが正解となります。

問B 
少し難しいですが、
代入するとn=1,2はありえないことが分かるので、
n^2+2=(n-1)(n-2)+3nとします。(n≧3)

いま、連続しているので、n,n-1,n-2のいずれかは3の倍数になります。

⑴n-1が3の倍数のとき、n-1=3m(mは1以上の自然数)とおくと、
n^2+2=3m(n-2)+3n
これは3で割り切れますが、
n^2+2>3ゆえ、3より大きい3の倍数かつ素数はありません。
よって不適。

⑵n-2が3の倍数の場合も同様に不適。

⑶nが3の倍数のとき、nは素数ゆえ、
条件を満たす数字は3だけになります。
n=3だけが正解です。

難易度低めにしてますが、証明問題ではなく、
ただ数値を答えるだけなので…予想はすぐに立つかと。