かなり難しめ

私にはまったくわかりません（汗
というか、知識問題は×なのではないですか？

かなりいんちきくさいのですが
arccos0=p/2, 3p/2, 5p/2, 7p/2・・・・・
（ｐ＝円周率）
なのでその中から都合のいい物を選び出せば
arccos0/arccos0 の値は任意の奇数とすることが可能。
（分子を3p/2、分母をp/2と選べば3となる）
2個の0をこれで使って、あとは残りの2と0で調節すればあらゆる整数が作り出せる。

不安な点として
・アークコサインってこんないい加減な使い方していいんだっけ？
・アークコサインって高校2年生で習ったっけ？
というのがあるので、詳しい人コメントください。

＞アークコサインってこんないい加減な使い方していいんだっけ？
いやー、いいのかなぁ（笑）そうだとしたら面白いけど。

＞ただ、9で使われてる階乗の記号は駄目かなー
＞現実では小さくして移動させないといけないので。

の意味もあんまりよくわかんないので、なんかとにかく？です。
そろそろその記号がなんなのか教えてくださいよー。＞とおるさん

そしたら、ただの知識問題でもなくなるだろうし。

ｱｰｸｺｻｲﾝはまだ習ってなくてわかんないです＾＾；

すみません。ちょっと変なこと言ってましたｍｍ
・9で使われている階乗＝×
　　　　　　　　 指数＝○です。(多分。)
2の0乗=1とかはPC上では2^0=1と表すことが可能かもしれませんが、
実際は2°と大きさが変わるので不可。ということでお願いしますｍ_ _ｍ

すみません。知識問題はだめなんですね。
使う記号を言えば、知識問題じゃなくなるかな？

使う記号はΣ(ｼｸﾞﾏ)です。(等差数列の和(だったかな？)

Σ3＝1+2+3＝6　
Σ5＝1+2+3+4+5＝15　となるっぽいです。

使うものをまとめてみると、

!(階乗)
0!＝1　という定理。
Σ(ｼｸﾞﾏ)
(){}[]←小中大ｶｯｺ

ﾃﾞｽ。

細かい事を指摘させていただきます。
細かいので、無視してもらっても構いませんが

Σ　記号は、（下）変数＝初期値　（上）最大　と書かないといけない気がします。
んで、Σ3といいますのは、ここでは、Σn（下には）n=1（上）3と書いたことの事と思います。

厳密には、シグマは、nやら、kやらを使って、最低数が二ついるわけです。
つまるところ、Σ3なんていうのは、ないわけで、記号の使い方が誤っているわけで。

って、細かい話じゃない気がしますね

僕も、学校の授業では上下に初期値や最大を書いてるんですが、
この問題は、実際に数楽オリンピック等で使われて、いろいろな本でこのことが書かれていたので

Σ３　と書いたら自然に1からΣの隣にある数字へ交差1の等差数列の和となる と解釈していたんですが違うのかな？

ちなみにその本での解答は
2*0+0+0=0
2*0+0!+0=1
2*0!+0+0=2
2+0!+0+0=3
2+0!+0!+0=4
2+0!+0!+0!=5
2*(0!+0!+0!)=6
Σ(2+0!)+0!+0=7
Σ(2+0!)+0!+0!=8
Σ(2+0!+0!)-0!=9
Σ(2+0!+0!)+0=10
と書かれていたのですが。

また、ずるい方法として
0÷0は不定なので
2*0+0÷0＝"すべての数"という別解もありました。

すみません。ほったらかしにしといて。
とりあえず、Σが上記の使用法で良かった時の解答を記入して、
済にしておきますね。
解答例は下のようです。
11=Σ(2+0!+0!)+0!
12=2{(0!+0!+0!)!}
13=2[{Σ(0!+0!)}!]+0!
14=Σ{2+Σ(0!+0!)}-0!
15=Σ(2+0!+0!+0!)
16=Σ{2+Σ(0!+0!)}+0!
17=(Σ2)[{Σ(0!+0!)}!]-0!
18=Σ{(2+0!)!}-Σ(0!+0!)
19=Σ{(2+0!)!}-0!-0!
20=Σ{(2+0!)!}+0-0!