数学に挑戦！　2

2006/03/07(Tue) 15:17:34 編集(投稿者)
2006/03/07(Tue) 14:50:06 編集(投稿者)

.com.comさん、こんにちは～

Section 4を違った『角度』から解こうかと思って…（←寒？）
高校１年ということなので、ベクトルはまだ習ってないだろうし、旧課程の複素数も習うはずはないと思うので、
ここは座標平面で考えてみました。あえて角度は使わず回答したいと思います。
（…まあ『直交』という言葉を使っちゃってますが…）

図を載せられないので、実際に紙に描いてみたほうがいいと思います。
あ、あと２乗が出てくるので、２乗の表記は例えば、ｍ・ｍという風にしておきました。


点Ａ（０、2b）、点Ｂ（０、０）、点Ｃ（ａ、０）、点Ｄ（ａ、2b）　（ただし、ａ、ｂはともに正の数）
以下、ａ≧（点Ｉのｘ座標）のもとで考えます。

直線ＢＧ：ｙ＝ｍｘ　（ｍ＞０）　とすると、点Ｇの座標は（2b／m、2b）
直線ＡＨは直線ＢＧと直交するから、
直線ＡＨ：ｙ＝(-1／m)ｘ＋２ｂ
と表せるので点Ｈの座標は（mb、ｂ）となる。
また、直線ＡＨと直線ＢＧの交点をＪとすると、Ｊのｘ座標は 2bm／(m・m＋1)　…?@　であり、
ＪはＡＨの中点でもあるので、そのｘ座標は　bm／2　…?A　とも表せる。
よって、?@＝?A　より、　ｍ＝√3　…☆　を得る。

（?@）△ＡＨＢについて

☆より、点Ｈ（(√3)ｂ、ｂ）だから、ＢＨ・ＢＨ＝{(√3)ｂ}・{(√3)ｂ}＋ｂ・ｂ＝４ｂ・ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　ＢＨ＝２ｂ　…?B
また、ＡＨ・ＡＨ＝{(√3)ｂ－０}・{(√3)ｂ－０}＋（ｂ－２ｂ)・(ｂ－２ｂ）＝４ｂ・ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　ＡＨ＝２ｂ　…?C
さらに、ＡＢ＝２ｂだから、?B?Cとから三辺が等しいので△ＡＨＢは正三角形。 (q.e.d.)

（?A）△ＢＧＩについて

点ＨはＧＩの中点だから、Ｉのｘ座標は、☆とから　4b／√3　、Ｇのｘ座標は　2b／√3　　
となるので、ＢＩ＝4b／√3　…?D
ＧＩ・ＧＩ＝{(4b／√3)－(2b／√3)}・{(4b／√3)－(2b／√3)}＋（０－２ｂ)・(０－２ｂ）＝16b・b／3
　　　　∴　ＧＩ＝4b／√3　…?E
また、ＢＧ・ＢＧ＝（2b／√3)・(2b／√3）＋（２ｂ)・(２ｂ）＝16b・b／3
　　　　∴　ＢＧ＝4b／√3　…?F
?D?E?Fより、三辺が等しいので△ＢＧＩは正三角形。 　　　　　　　　　　　 (q.e.d.)


迷惑千万（？）だと思いましたが、.com.comさんにお礼と銘打つお返し問題を考えました。
暇潰しにもならないと思いますが…

△ＡＨＢと△ＢＧＩの重心をそれぞれＰ、Ｑとすると、３点Ｐ、Ｑ、Ｉは一直線上にあることを示せ。
また、この直線と辺ＡＢとの交点をＫとするとき、ＡＫ：ＢＫを求めよ。


長方形にまつわる問題として「黄金数」とか「黄金比」というのがあるので、
本当はそれをお返しに出そうと思ったのですがさすがにね…。
でも、２次方程式が解ければこの話は全然難しくはありませんよ。
ちなみに、この黄金比に分割された長方形（黄金長方形）は見た目が最も美しい長方形といわれていて、
古代ギリシャ建築にもよく使われていたそうです。身近なものでいうと、
岩波新書の表紙にある赤い線で描かれた長方形が、黄金長方形にかなり近い長方形だそうです。

なぜこんなことを知っているか。それは数学が嫌いだったころ、なんとかして数学を好きになってやろうと
思い、トリビアちっくな（？）ことから始めようとして手に取った本に載っていたからです。

2006/03/11(Sat) 14:27:18 編集(投稿者)

遅くなりました、レスでございます。


ゴドーさん

＞ＡＣＥＩＫＯＲＴに１～８の数を入れるでいいんですよね。
＞56324871,56327841,58324671,58327641,23654871,23657841,24653781,
＞24658731,27653481,27658431,28654371,28657341,13654782,
＞13658742,17654382,17658342,45216873,45217863,46215783,46218753,
＞47215683,47218653,48216573,48217563,12546873,12547863,
＞18546273,18547263,35216784,35218764,37216584,37218564,14327685,
＞14328675,16327485,16328475

うひゃ～！そんなにあったなんて！全然知らなかった！覆面算、恐るべし……。
答えはいつか発表します。その間に確認しておきますね。
あ、確かに「ＡＣＥＩＫＯＲＴ」です。後で直しておきます。


ルナさん

＞「50◆32＝２」がなかなかの曲者でしたね（＾＾；）
ちなみに何か複雑な例を考えていたらたどり着きました。これで分かったらすごいですよ。


Pさん

＞高校入試の間違いですよね？　ていうか間違いであってほしい．
＞小６が解ける問題じゃないし…(^^;)
本当ですよ。どこかは忘れましたが、確かに中学入試の問題でした。
その問題は証明問題ではありませんでしたが、設問は「△GBIは△ABHの何倍か」という感じでした。


CHOPINさん

＞△ＡＨＢと△ＢＧＩの重心をそれぞれＰ、Ｑとすると、３点Ｐ、Ｑ、Ｉは一直線上にあることを示せ。
△ABGと△EBPにおいて
　AB:EB=2:1(略)
　∠ABG=∠EBP(同じ角)
　∠GAB=∠PEB(ともに90度、略)
二角相当より△ABG∽△EBP、相似比△ABG:△EBP=2:1
対応する辺でBG=2BP
よってBP=GP
ゆえにPは△GBIの中点である。
重心は辺の中点と角を結んだ辺の交点なのでPIを結ぶと重点Qを通る。
よって、PQIは一直線上にある。

(略のところは面倒くさいので省略しました。そこを証明するのには簡単だと思います。)

＞また、この直線と辺ＡＢとの交点をＫとするとき、ＡＫ：ＢＫを求めよ。
(求め方省略)
1:3

どうでしょうか？

＞高校１年ということなので、ベクトルはまだ習ってないだろうし、旧課程の複素数も習うはずはないと思うので、
＞ここは座標平面で考えてみました。あえて角度は使わず回答したいと思います。
＞（…まあ『直交』という言葉を使っちゃってますが…）

実は意外だと思いますが、うちの学校は数学の進みが速いんですよ。
今度の数学の試験範囲は「積分」と「指数関数・対数関数」です。
複素数はやりました。1学期のときだったと思いますが。
「旧課程の複素数」ってなんでしょうか？無知ですみません……
(複素数…Ai+B。iとは2乗して-1となる数で、実数には存在しないので「虚数」となる。)
ベクトルはやってないですが、少しなら知ってますよ。
同じベクトルや逆ベクトル程度ですが……。
直交もやったので知ってます。
　
　
　
～～～～～～
＞ＡＫ：ＢＫですが、私の答えは１：２でした。恐らくＡＫ：ＡＢと間違えたのでは？
　
確かにそうでした。実は証明に頭を使いすぎて疲れたので適当に答えたもので。(- -;)
ああ、情けない……。

＞たしか現課程の複素数では共役複素数程度までしか習わないですよね。
　
そうだったなあ……。3次方程式で虚数解があるものは共役複素数となるとかやってました。
証明問題とかも^^。今となれば覚えてない^^;。
　
＞まあ、数学の中で一番好きな分野は整数ですが。
自分は「パイ」を除いた実数は好きです。
まあ、複雑な計算だと整数のほうが好きですが。(/--)/
今は数学の宿題で対数をやってます。でも、常用対数がどうしても好きになれない……
　
用語
共役複素数…上の複素数も参照。Ai+BとAi-Bを共役複素数という。
3次方程式…AX^3+BX^2+CX+D=0(M^NはMのN乗(←MをN回かける))のこと。
虚数解…方程式(ある式=0が与えられ、その中に出てくる文字(Xなど)の値を求める)の解(答え)が虚数(世の中には存在しない数。複素数も入る)となるもの。
パイ…円周率(円の周が直径の何倍かを示した値)のこと。正確には3.14159265358979…と不規則に続く。不規則に続くのでこれは無理数(分数で表せない数)となる。
実数…世の中には存在する数。←→虚数
対数…A^N=Bとなるとき、Nを出すのにlogAB(Aは小さい文字)=Nと表す。例えば、log 2 8=3(2を3回かけると8になるから)と表す。このとき、Aを底(てい)、Bを真数(しんすう)、Nを指数(しすう)という。
常用対数…対数の一つで、log10B(10は小さい文字)のこと。基本的に常用対数表という表を用いる。
　
なんか何が言いたいのか……^^;

.com.comさん、こんばんは～
再びお邪魔しますね。数学問題のスレなので数学の話を。

まずはお返し問題について。
ＡＫ：ＢＫですが、私の答えは１：２でした。恐らくＡＫ：ＡＢと間違えたのでは？

高校１年にして「積分」！？「指数・対数」！！？
積分をやっているということは微分はもう履修したんですね。
しゅ、しゅごい…

ベクトルは図形問題にも応用（もちろんその逆も）できたり、
幾何定理の証明にも使えるので大学受験のとき何かと重宝しました。
そして三角形の面積公式がやたらと増える（笑）
無知なんてとんでもない！!私が高校生だったころは複素数の「ふ」の字も知りませんでした（^_^;
え～とたしか現課程の複素数では共役複素数程度までしか習わないですよね。
旧課程の複素数には図形的考察（複素数平面）が盛り込まれていました。
図形の回転が楽にできて、ベクトルとの相性もよく、普通の座標平面と扱いが似ているので便利でした。
また、実数問題を解くときに途中で虚数が出てきたりと、
実の世界と虚の世界を行き来するのが面白かったりします。

まあ、数学の中で一番好きな分野は整数ですが。
整数問題やってると頭が良くなる『気がする』ので（笑）

だらだらと申し訳ありませんでした。では。

2006/03/12(Sun) 16:50:32 編集(投稿者)
2006/03/12(Sun) 16:49:03 編集(投稿者)
2006/03/12(Sun) 16:48:33 編集(投稿者)
2006/03/12(Sun) 16:48:11 編集(投稿者)
　
4日(だったっけ？)放置してたので全てにおいて答えが出てました。
ようやくまとめあげたので発表したいと思います。
　
　
答え
Section 1　１
Section 2　－、－、＊
Section 3　１３６５８７４２、１７６５８３４２
Section 4　解説参照
　
別解
Section 1　なし
Section 2　なし
Section 3　ゴドーさんの答え参照～～～No.54944
Section 4　解説参照
　
解説
　
Section 1
　
「Ａ◆Ｂ」としたとき、(√Ａ－√Ｂ)^2
　(^2は(　)内を2回かけるという意味です。)
　
　
Section 2
　
[埋めた式]　32－16－８＝４＊２／１
　
　
Section 3
　
[埋めた式]
ＴＲＩＣＫ＋ＯＲ＝ＴＲＥＡＴ
　
１７２６４＋８７＝１７３５１
１７５３４＋８７＝１７６２１
１８５４３＋７８＝１８６２１
２８５３４＋７８＝２８６１２
３７１５６＋８７＝３７２４３
３８１７５＋６８＝３８２４３
３７４２６＋８７＝３７５１３
４８１５６＋７８＝４８２３４
５８２４７＋６８＝５８３１５
　
ＣＯとＫＲは互いに入れ替え可能。それについては省略。
　
　
Section 4
　
[回答例]
　
(i)
△AGB≡△HGBより、AB=HB……………………………………(a)
また、△AHEと△BHEにおいて
　AE=BE
　EH共通
　∠AEH=∠BEH=90度
二辺夾角相等より、△AHE≡△BHE
対応する辺でAH=HB……………………………………………(b)
(a)(b)より△ABHは正三角形　　　　　　　　　　　　　Q.E.D.
　
(ii)
△BGHと△BIHにおいて
　BH共通
　GH=IH(これの証明はPさんの(5)～(7)を参照～～～No.54951)
　　∠ABG=∠HBG=60/2度=30度(△AHE≡△BHEで対応する角)
　　∠IBH=90度-∠ABH=90-60度=30度
　　よって
　∠HBG=∠HBI=30度 …………………………………………(c)
二辺夾角相等より、△GBH≡△IBH
対応する辺でGB=IB……………………………………………(d)
ここで、(c)より∠GBI=∠HBG+∠HBI=60度…………………(e)
また、(d)より△BGIはBG=BIの二等辺三角形
よって、∠BGI=∠BIG
∠BGI=∠BIG=(180-60)/2度=60度……………………………(f)
よって、(e)(f)より△BGIは正三角形　　　　　　　　　Q.E.D.
　
[この証明のポイント]
　
(i)は三辺が等しいこと、(ii)は三角が等しいことを利用。
具体的には、(i)は△AGB≡△HGBの合同利用と△AHE≡△BHEの合同証明、
(ii)は∠ABG=∠GBH=∠HBIの証明と△GBH≡△IBHの合同証明。
　
[回答者の証明についての概要と評価]
　
ゴドーさん
(i)については回答例とほとんど同じでした。
違いはAH=BHを垂直二等分線から求めたことですが、これも正解です。
(むしろこちらのほうが簡単です。)
(ii)は角度の計算を利用した方法です。
回答例との違いは∠BIGを△BHIから求めたところで、
それ以外はほとんど同じです。
　
Pさん
(ii)のみの回答でしたが、全体の概要は2回△BGIが二等辺三角形として証明し、
そこから辺の長さが等しいことを結びつけた証明法です。
見てて全体的に盲点を突かれた気がしました。
証明法、平行線の利用、垂直二等分線と、
自分では意外な角度から求めていました。
全体的では正解です。
　
CHOPINさん
これも意外でした。CHOPINさんは平面座標を利用し、
各辺の長さが等しいことを利用して証明したという方法です。
少し複雑でしたが、これも正解です。
グラフの直交の公式もこれを見た時点で思い出しました。
ただ、
＞直線ＡＨは直線ＢＧと直交するから
は、直交することの証明、
＞また、直線ＡＨと直線ＢＧの交点をＪとすると、
＞Ｊのｘ座標は 2bm／(m・m＋1)　…?@　であり、
は、これ自体が分からなかったので
もう少し説明を増やしてくれると完全に正解になると思います。
それ以外は丁寧だったので分かりやすかったです。
～～～これについてはNo.54990参照～～～
　
　
正解者
Section 1　ルナさん
Section 2　ゴドーさん
Section 3　ゴドーさん
Section 4(完全正解)　ゴドーさん、CHOPINさん
　　　　 (部分正解)　Pさん
　
以上です。第3弾もどうぞ！
　
　
P.S.　CHOPINさん、このレスを読んでSec.4の追記があれば
　　　レスをお願いします。
P.S.S.　ちなみに、「数学に挑戦！」シリーズの5ができました。
　
～～～追記～～～
編集後に後半が全て灰色の字になってしまうので通常モードに切り替えました。

2006/03/11(Sat) 21:55:40 編集(投稿者)

.com.comさん、こんばんは～
呼ばれたのでやって参りました。


直交であることの証明かあ…
言葉で言ってしまえば、△ＡＢＧと△ＨＢＧは直線ＢＧに関して対称なので、
直線ＡＨを垂直に２等分するはずで、もし垂直でなければ、△ＡＢＧと△ＨＢＧは合同にはならないから
ってなところですか。
実際、「折り返したものだから」で十分だと思います。

さて証明してみたところ、先に△ＡＢＨが正三角形であることが導かれました。
基本的に座標平面で考えています。設定は以前証明したときと同じです。

△ＡＢＧ≡△ＨＢＧより
ＡＢ＝ＨＢ＝２ｂ・・・?@
（点Ｈのｙ座標）＝ｂ・・・?A
ここで∠ＣＢＨ＝θとおくと、?@?Aから
sinθ＝b／2b＝1／2　　∴θ＝30°
よって∠ＡＢＨ＝60°・・・?B
?@?A?Bから、△ＡＢＨは正三角形なので、
△ＡＢＧ≡△ＨＢＧを考えると、直線ＢＧは辺ＡＨを垂直２等分する。
よって　ＡＨ⊥ＢＧ　　　　　　　　（q.e.d.）

もう一つ、点Ｊのｘ座標のことですが、これは直線ＢＧ：ｙ＝ｍｘと直線ＡＨ：ｙ＝(-1／m)ｘ＋２ｂ
を連立してｘについて整理しただけです。

ここからは余談を。
突然ですが、四角形の面積公式をご存知ですか？
四角形の面積をＳ、２本の対角線の長さをｘ、ｙ、２本の対角線のなす角をθとおくと、

Ｓ＝ｘｙsinθ

と表すことができます。ＡＨ⊥ＢＧの証明にこれを使ってもできますよ、回りくどいですが（笑）
あと、この座標平面の考え方は、図形問題を解くときにかなり有効だと思います。
もちろん、すべてうまくいくわけではありませんが…

またダラダラと失礼しました。では。

2006/03/12(Sun) 16:45:15 編集(投稿者)

こんにちは。数学の宿題でようやく常用対数のところに入ったところで力尽きました(-.-)

＞言葉で言ってしまえば、△ＡＢＧと△ＨＢＧは直線ＢＧに関して対称なので、
＞直線ＡＨを垂直に２等分するはずで、もし垂直でなければ、△ＡＢＧと△ＨＢＧは合同にはならないから
＞ってなところですか。
＞実際、「折り返したものだから」で十分だと思います。

まあ、そうですね……。
実は直交になるのは確かに(自分の勘では)そうです。
証明は読み直してみましたが、OKです。

＞もう一つ、点Ｊのｘ座標のことですが、これは直線ＢＧ：ｙ＝ｍｘと直線ＡＨ：ｙ＝(-1／m)ｘ＋２ｂ
＞を連立してｘについて整理しただけです。

これもOKです。多分自分の計算ミスだったのかなぁ……？

＞四角形の面積をＳ、２本の対角線の長さをｘ、ｙ、２本の対角線のなす角をθとおくと、
＞
＞Ｓ＝ｘｙsinθ
＞
＞と表すことができます。

なんかやったような記憶もありますけど、やってみたら
S=1/2・xysinθ
になりました。
こっちが間違えたかな？
いや、多分1/2って入るような……
図で書いたら三角形の面積公式(注)と同じになりました。

(注)
三角形の2辺の長さをa、b、その2辺に挟まれた角をθとすると、その三角形の面積は
S=1/2・absinθ
となる。

～～～おまけ～～～
昨日と今日で「数学に挑戦！　6」の覆面算を解きました。
最初出来ない見込みがありましたが、なんと6通り出てきました！(入れ替えを含めると12通り)
なので、「数学に挑戦！　6」の問題ができたという事になります。
結局は「暇なんだな」という事かもしれません……。
試験期間中なのに……。

.com.comさん、こんにちは～

> S=1/2・xysinθ
> になりました。
あ、やべ、私が間違えました。
.com.comさんので合ってます。
う～ん、どこで間違えたんだろう…計算ミス？？？
証明はいたって簡単なんだけどな…。お恥ずかしい。

今度、覆面算で引き算や掛け算をやってみては？

だらっと失礼しました。では。