数学に挑戦！　5

2006/03/29(Wed) 17:28:19 編集(投稿者)
2006/03/29(Wed) 17:27:15 編集(投稿者)

.com.comさん、
今回もsec.4を回答しにやって参りました。
が、今回もちょっと不安…(^_^;

円Ｃ：　ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＝１　
また、Ｃ上の点(１、０)を点Ａ、(cosα、sinα)を点Ｂ（ただし、α≠０°）とする。
このように設定しても一般性は失われない。

題意の折り線は円を重なるように折ったときの折り線だから、
点Ａを通る無数の折り線のうち、題意の折り線はｘ軸。
よって点Ｂ(-1、０)である。
　
（弦ＡＢについてＣの劣弧ＡＢを折り返してできる図形(弧ＡＢとする)を考える。（←弓形っぽい図形）
今、点Ｂを動かすと弦ＡＢの長さが変化していき、
ＡＢが直径になるとき弧ＡＢはもとの円Ｃのｙ≦０の部分とぴったり重なる。）
（↑：軌跡の話ですが、計算が面倒なので割愛しました。）

また、Ｃ上の点(cosβ、sinβ)をＰ（β≠０°、180°）とすると、Ｐを通る題意の折り線は、
点Ｑ(cos(β＋180°)、sin(β＋180°))を通る。
(?T)β≠90°、270°のとき
cos(β＋180°) ＝－cosβ、　sin(β＋180°) ＝－sinβ　だから、
折り線ＰＱの方程式は、

　　　ｙ＝（{sinβ-(-sinβ)}/{cosβ-(-cosβ)}）×(ｘ－cosβ) ＋ sinβ
整理して、
　　　 ＝(sinβ／cosβ)x

これとｙ＝０を連立すると、(sinβ／cosβ)≠０より、ｘ＝０
よって２つの折り線は原点（円Ｃの中心）で交わる。
(?U)β＝90°、270°のとき
このとき折り線ＰＱはｙ軸なので、ｘ軸と原点で交わる。

以上から、題意は示された。　　　　　　　　　　　　　　（q.e.d.）

いい別解が浮かびませんでした。頭固いなぁ…


あ、ＰＱを一般形のａｘ＋ｂｙ＝ｃで表したほうがスマートだったかな…

2006/04/05(Wed) 14:30:37 編集(投稿者)
2006/04/05(Wed) 14:28:43 編集(投稿者)
2006/04/04(Tue) 16:08:03 編集(投稿者)
　
Sec.1ヒント。
　
A/B_Cとしたとき、
1.　A/Bを元にして考える
2.　BとCの関係を考える
以上の2つを考えてみてください。
　
～～～～～～
追加ヒント
3.　Cは何かの累乗を表します。
　
～～～～～～
さらに追加ヒント
4.　次の式のどちらかを使ってください。(むしろそれが答えです。)
　　　C
　1.　??=A/BC^k
　　　k=1
　
　　　C
　2.　??=AC^k/B^C
　　　k=1
　
電卓でM(メモリー)機能がついてる場合はそれを使ってみてください。
　
参考…??(シグマ)の意味
　　　m
　　　?婆を含む式
　　　k=n
　　?蝿ﾈ下の式の総和を表します。
　　このとき、kには?狽ﾌ下にある「k=n」から始め、
　　?狽ﾌ上にある「m」までを代入し、それを合計します。
例
3
??3k
k=1
なら、3×1＋3×2＋3×3＝18となります。
なお、公式を使えば、3×{3×(3＋1)／2}=18です。
　
明日正解発表します。それまでに誰かが答えるか？

おはようございます。

残念ながらSec.1の解答者は出ませんでした。
まあ、イジメ要素があるとか言ってたから難しいと思います。
それとも皆さんが忙しかったからでしょうか？

いずれにせよ今から解答確認をするのでこれ以降の投稿は受け付けません。

2006/04/07(Fri) 20:57:19 編集(投稿者)
2006/04/06(Thu) 12:00:05 編集(投稿者)
2006/04/06(Thu) 11:41:48 編集(投稿者)
2006/04/06(Thu) 11:40:17 編集(投稿者)

答え
(ここの答えは一例です。他の答えは別解や解説を参照してください。)
Section 1　0.9375
Section 2　＊、＋、＊、－
Section 3　258394167、278546139、348275169、478629153、
　　　　　 547268193、647239185、648329175
Section 4　解説参照
　
別解
Section 1　なし
Section 2　なし
Section 3　278534196
Section 4　解説参照
　
解説
　
Section 1
　
A/B_Cのとき、A/B^1+A/B^2+……A/B^C
　
[説明]
2/3_1＝2/3=0.67
2/3_2＝2/3+2/9=8/9=0.89
2/3_3＝2/3+2/9+2/27=26/27=0.96
2/3_4＝2/3+2/9+2/27+2/81=80/81=0.99
3/5_1＝3/5=0.6
3/5_2＝3/5+3/25=18/25=0.72
3/5_3＝3/5+3/25+3/125=93/125=0.744
1/2_4＝1/2+1/4+1/8+1/16=15/16=0.9375
　
Section 2
　
[答えを入れた式]
31＊41＋59＝26＊53－58＋10＝1330
　
Section 3
　
[答えを入れた式]
ＣＡＴ＋ＤＯＧ＝ＰＥＴＳ
５２７＋８４９＝１３７６
７２９＋８４９＝１５９３
４３９＋８５７＝１２９６
７４３＋８９２＝１６３５
４５３＋７８６＝１２３９
４６５＋７９３＝１２５８
４６５＋８９２＝１３５７
７２６＋８４３＝１５６９(ゴドーさん)
　
Section 4
　
[解答例]
折り目ABは円の直径となるので、ABは中心Oを通る。
同様にCDも中心Oを通る。
また、ABとCDの交点はABとCDの共通部分である。……(1)
ABとCDは両方とも円の中心Oを通るので、
円の中心はABとCDの共通部分である。……(2)
(1)(2)より、ABとCDの交点は中心Oとなる。
　
[解説]
直径が円の中心を通り、2つの直径の共通部分は円の中心であることを示す方法。
ゴドーさんはこのやり方でした。
　
[別解　(CHOPINさん)]
No.55080を参照
　
部分的な解説
(1)
＞円Ｃ：　ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＝１　
＞また、Ｃ上の点(１、０)を点Ａ、
＞(cosα、sinα)を点Ｂ（ただし、α≠０°）とする。
これは円の公式です。また、Aの座標を1つに固定し、Bを変数にします。
(2)
＞点Ａを通る無数の折り線のうち、題意の折り線はｘ軸。
＞よって点Ｂ(-1、０)である。
これでABの座標が決まりました。
(3)
＞（弦ＡＢについてＣの劣弧ＡＢを折り返してできる図形
＞(弧ＡＢとする)を考える。（←弓形っぽい図形）
＞今、点Ｂを動かすと弦ＡＢの長さが変化していき、
＞ＡＢが直径になるとき弧ＡＢはもとの円Ｃのｙ≦０の部分とぴったり重なる。）
劣弧とは短い方の長さの弧です。(Wikipediaで検索)
これを折り返すと弧ABは円の中に入り、
ABが円の直径になると反対側とぴったり重なるという事です。
(4)
＞また、Ｃ上の点(cosβ、sinβ)をＰ（β≠０°、180°）とすると、
＞Ｐを通る題意の折り線は、
＞点Ｑ(cos(β＋180°)、sin(β＋180°))を通る。
PQを設定します。なお、β＝０°、180°はABと重なるため不適。
(5)
＞(?T)β≠90°、270°のとき
＞cos(β＋180°) ＝－cosβ、　sin(β＋180°) ＝－sinβ
これは定義です。
(6)
＞折り線ＰＱの方程式は、
＞　ｙ＝（{sinβ-(-sinβ)}/{cosβ-(-cosβ)}）×(ｘ－cosβ) ＋ sinβ
＞整理して、
＞　　＝(sinβ／cosβ)x
最初の( )は傾きで、残りはP(cosβ、sinβ)に対応します。
　（ｙ－ sinβ）＝（{sinβ-(-sinβ)}/{cosβ-(-cosβ)}）×(ｘ－cosβ)
を移項したものです。
(7)
＞これとｙ＝０を連立すると、(sinβ／cosβ)≠０より、ｘ＝０
＞よって２つの折り線は原点（円Ｃの中心）で交わる。
β≠0°,90°,180°,270°なのでsinβ、cosβのいずれも0ではありません。
また、ｙ＝０(AB)と連立方程式を立てています。
　０＝(sinβ／cosβ)x
なのでｘ＝０です。
(8)
＞(?U)β＝90°、270°のとき
＞このとき折り線ＰＱはｙ軸なので、ｘ軸と原点で交わる。
x軸とy軸の交点は原点です。
　
[解説]
毎回ながらCHOPINさんの答えには脱帽ですm(_ _)m
これも正解です。
　
　
　
　
[正解者]
Section 1　なし
Section 2　ゴドーさん
Section 3　ゴドーさん
Section 4　ゴドーさん、CHOPINさん
　
次のその6で一旦打ち切りです。
新ネタは今のところSec.4の1問だけですが、きっとすぐに公開できると思います。
とりあえずはその6をどうぞ！

～～～追記 1～～～
解説の修正の際、Sec.4の部分的な解説以降が灰字になるので通常モードにしました。
　
～～～追記 2～～～
解決済みのチェックを忘れてました(汗)。