長方形から正方形

文章で説明するのは非常に難しいですね。

あくびさんはもしかして規格に沿った紙、つまりA4とかB5とかの紙でやっていたりしませんでしょうか？
黄金比(短辺:長辺 = 1:√2)の紙だと2回折るだけでできます。

短辺をaとすると、今回切り出すべき正方形の一辺の長さは(a√2)/2。
つまり、長辺の半分の長さを一辺に持つ正方形が切り出すべき正方形となります。

しかし、この問題では単に『長方形』としか言っていないため一般的な長方形を用いなければならないことになります。
それにはまず最大の正方形の対角線(a√2)を作り(この時点で2回折りますね)その対角線の半分の長さ{(a√2)/2}を長辺および短辺に持っていかなくてはなりません(ここでもう一回折る)。
そのため最低3回折らないといけないということなのではないでしょうか。

誤推でしたら申し訳ありません。
わかりにくい文章ですがいかがでしょうか。

○一回目○
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○二回目○
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↓
戻す
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　　　　 ＼　　　　　　／ ←『い』とします。
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『う』とします→＼／　　 ｜
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　　　　　　　 　　　　 ＼ ←『あ』としまｷ。

○三回目○
角『あ』を2等分するように折ります。
折ったら『あ』『い』を結ぶ線上に『う』の位置をポイント(『う'』とする)し、
『あ』『う』を結ぶ線上に『い』の位置をポイント(『い'』とする)します。
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この辺に『い'』が来る→＼　　　　／ ｜←この辺に『う'』が来る
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『い'』と『う'』を結ぶ線を切れば求める正方形を切り出すことができるはずです。

ん～、やはり図にするのって難しいですね。

　月の満ち欠けさんの図を利用させていただきます。
　『い'』『う'』を結ぶ線を定規などを用いずに切るには，そこをもう一度折らなければならない気がしました。そこで月の満ち欠けさんの考えに便乗させていただいて少し変更を。
　二回目の作業をなくし，三回目に『い'』のところで『あ』『い』のある辺を下図のように折れば，『い'』から『あ』『い』のある辺への垂線が引けます。




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　　 この辺に『い'』 →＼／＿＿＿＿_｜

　この後もう一度一回目の作業の形まで開いて

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　裏にできている折り目にそってはさみを入れる。
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　　「裏面」　　　 ｜　　　　 　　／
　 　　　　　　　　 ｜＿＿＿＿＿ ／　←『い'』
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　これだと三回の作業内ではないでしょうか？

　すぐに思ったのが大きい正方形の対角線に沿って切り，四分の一の直角二等辺三角形を二つ切り出して長い辺どうしをくっつけるというものでした。なので私も二回の作業内だと思いましたが，正方形を切り取るというのに堂々と反してました。