解答数
250
歴代 8648位 / 16,274
FILE No.12079REOPENED
分銅パズルの法則
論理出題 kikki2010-05-02
事件概要
＊注 題名書き間違えました…「分銅パズルの法則」じゃなくて「天秤パズルの法則」と書いた方が適切ですね…、まぁだからどうってことはないんですが…。
何枚かのコインがあり、１枚だけ他のものよりも少しだけ重いもの(偽のコイン)がある。天秤を５回使ってそのコインを割り出したい。けれどもコインがある枚数以上になってしまうと、５回で確実に割り出すことは不可能である。その数は何枚か…？
これは３の５乗＋１で「２４４枚」となります。もし２４３枚数なら、１回目は左と右に８１枚置いて８１枚残す。この作業で３つに分けた８１枚の内どこにコインがあるかが解ります。２回目の作業で２７枚、３回目で９枚、４回目で３枚のコインの中に偽のコインがあることが解り、最後に左右に１枚づつ載せればそれで何処にあるのか解かるという仕組み。
もしこの枚数を超えてしまうと(もちろん運次第では当たりますが)、１００％偽のコインを割り出すことは無理になってしまいます。実際に２４４枚で考えてみると、１回目は左右に８１枚・８１枚残り８２枚。ここで天秤が傾いてくれれば良いのですが、そうでなければ残りの８２枚のどれかが偽のコインがあることが解り…同様のことが続けば２回目(２７枚を左右に、２８枚を残して)で２８枚、３回目で１０枚、４回目で４枚、５回目で２枚…と最後まで１枚に絞ることが出来ません。
ではここで問題。さっきは偽のコインが他のものよりも重いことが解っていました。今度は重さが違うのだけれども、それが他より軽いのか重いのかが不明な偽コインが１枚だけ混じっています。同じように天秤を５回だけ使ってそのコインを割り出したい。しかし、偽コインを含めコインの総数が「 ？ 」枚以上になると、確実に割り出すことは不可能である。
「 ？ 」に入る数字を回答欄に半角数字で記入して下さい。ただしそのコインが重いのか軽いのかということは問わない、また判別したいコインとは別に、正しい重さだと解っているコインも何枚も持っており(問題上、無限個持ってると考えて)、測るときにそれを用いても良いとする。(←この条件が結構大事ですが。)
何枚かのコインがあり、１枚だけ他のものよりも少しだけ重いもの(偽のコイン)がある。天秤を５回使ってそのコインを割り出したい。けれどもコインがある枚数以上になってしまうと、５回で確実に割り出すことは不可能である。その数は何枚か…？
これは３の５乗＋１で「２４４枚」となります。もし２４３枚数なら、１回目は左と右に８１枚置いて８１枚残す。この作業で３つに分けた８１枚の内どこにコインがあるかが解ります。２回目の作業で２７枚、３回目で９枚、４回目で３枚のコインの中に偽のコインがあることが解り、最後に左右に１枚づつ載せればそれで何処にあるのか解かるという仕組み。
もしこの枚数を超えてしまうと(もちろん運次第では当たりますが)、１００％偽のコインを割り出すことは無理になってしまいます。実際に２４４枚で考えてみると、１回目は左右に８１枚・８１枚残り８２枚。ここで天秤が傾いてくれれば良いのですが、そうでなければ残りの８２枚のどれかが偽のコインがあることが解り…同様のことが続けば２回目(２７枚を左右に、２８枚を残して)で２８枚、３回目で１０枚、４回目で４枚、５回目で２枚…と最後まで１枚に絞ることが出来ません。
ではここで問題。さっきは偽のコインが他のものよりも重いことが解っていました。今度は重さが違うのだけれども、それが他より軽いのか重いのかが不明な偽コインが１枚だけ混じっています。同じように天秤を５回だけ使ってそのコインを割り出したい。しかし、偽コインを含めコインの総数が「 ？ 」枚以上になると、確実に割り出すことは不可能である。
「 ？ 」に入る数字を回答欄に半角数字で記入して下さい。ただしそのコインが重いのか軽いのかということは問わない、また判別したいコインとは別に、正しい重さだと解っているコインも何枚も持っており(問題上、無限個持ってると考えて)、測るときにそれを用いても良いとする。(←この条件が結構大事ですが。)
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123
ヒント答えは…貴方が計算して割り出した数よりも１つ大きいかもしれません…。
解説１２２枚まで測れる！けれども１２３枚以上はアウト！
もしｎ枚のコインがあるならば、それぞれに重いか軽いかの可能性があり、考えられ得る可能性の総数は２ｎ通り。天秤を１回使う毎にその可能性を３分割していくことになります。これが２４３を超えてしまうとアウト、そして枚数が１２２のときに考えられる可能性は２４４通りなので天秤５回では分割出来ない！と一見思えますが、枚数１２２までは測ることが出来ます。
では実際に１２２枚を５回で割り出してみます。問題文中の最後に言った通り、「正しい重さだと解っているコインも何枚も持っており測るときにそれを用いても良いとする」が、割と重要。方法はとても単純です。
まず１回目、天秤の左側に８１枚のコインを載せ４１枚残します。そして右側には重さが正しいと解ってるコインを８１枚載せます。左に傾けば、８１枚の中に重いコインが１枚あることが解り、右に傾けば８１枚の中に１枚軽いコインがあることが解ります。そのパターンから残り４回で正しいコインが割り出せることは本文を参照して！問題は釣り合った場合です。
２回目、残りの４１枚のうち、今度は２７枚を左側に載せ１４枚を残します、１回目と同じようにして傾けば解決。釣り合ったとして３回目、９枚を左側の天秤に５枚を残し、４回目、３枚を左の天秤に２枚を残し、５回目、１枚を左の天秤に１枚を残します。
もちろん最後まで天秤に乗らなかったコインが偽であれば、このコインが重いのか軽いのかは解らず…けれども偽であることは解ります。ここがポイントなのですが、この残ったコインには重いか軽いかの２つの可能性があり、最初に２４３＋１の可能性があったのですが、その＋１の部分がここに持ち越されているのです。勿論それ以上の可能性を分割することは出来ず、コインが１２３枚の場合は割り出し切れません。
もしｎ枚のコインがあるならば、それぞれに重いか軽いかの可能性があり、考えられ得る可能性の総数は２ｎ通り。天秤を１回使う毎にその可能性を３分割していくことになります。これが２４３を超えてしまうとアウト、そして枚数が１２２のときに考えられる可能性は２４４通りなので天秤５回では分割出来ない！と一見思えますが、枚数１２２までは測ることが出来ます。
では実際に１２２枚を５回で割り出してみます。問題文中の最後に言った通り、「正しい重さだと解っているコインも何枚も持っており測るときにそれを用いても良いとする」が、割と重要。方法はとても単純です。
まず１回目、天秤の左側に８１枚のコインを載せ４１枚残します。そして右側には重さが正しいと解ってるコインを８１枚載せます。左に傾けば、８１枚の中に重いコインが１枚あることが解り、右に傾けば８１枚の中に１枚軽いコインがあることが解ります。そのパターンから残り４回で正しいコインが割り出せることは本文を参照して！問題は釣り合った場合です。
２回目、残りの４１枚のうち、今度は２７枚を左側に載せ１４枚を残します、１回目と同じようにして傾けば解決。釣り合ったとして３回目、９枚を左側の天秤に５枚を残し、４回目、３枚を左の天秤に２枚を残し、５回目、１枚を左の天秤に１枚を残します。
もちろん最後まで天秤に乗らなかったコインが偽であれば、このコインが重いのか軽いのかは解らず…けれども偽であることは解ります。ここがポイントなのですが、この残ったコインには重いか軽いかの２つの可能性があり、最初に２４３＋１の可能性があったのですが、その＋１の部分がここに持ち越されているのです。勿論それ以上の可能性を分割することは出来ず、コインが１２３枚の場合は割り出し切れません。
捜査データ
正解数
11
正解率
4%
論理カテゴリ平均 19%
評価
4 pt ／ 歴代 6336位
Good / Bad
2 / 1
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コメント
7
証言記録
正解率
4%
証言記録 (7)
kikki
あ、最初不完全な問題と書いてましたが全然不完全じゃなかったです／(^o^)\ 寝ぼけてた…理論パズルの方に出せば良かった…。
kikki
ちなみにオリジナルの方は、８枚中２枚他より重い偽のコインがあり、これを分銅を３回だけ使って割り出すことは可能か？不可能か？という問題でした。
kikki
うーん…解答説明のところに書こうと思っていたのですが、流石に字数的に無理だったのでこちらへ。問題のヒントになり過ぎるかもしれませんが。
解答で言っている「可能性の分割」というのが若干解りにくいかもしれませんので、それが具体的に解る例を示したかったんですが…うむむ…。答えに辿りついた人は解ると思いますが、天秤３回であればコイン１４回個までOKです、１５個なら駄目。
ここで問題文にあるように、正しい重さのコインを別にいっぱい持ってるなら一発で解けます。しかし全く持ってなければ出来ない。でも…実はそれを１枚だけ持っていれば偽コインを判断出来るルートがあるのです。
ではどうすれば良いのか、解答に辿り着いた人はこちらも考えてみて下さい。左に傾いたとき、右に傾いたとき、釣り合ったとき、コインの可能性はどうなっているか？を考えれば「可能性の分割」というのが良く解るはず。
解答で言っている「可能性の分割」というのが若干解りにくいかもしれませんので、それが具体的に解る例を示したかったんですが…うむむ…。答えに辿りついた人は解ると思いますが、天秤３回であればコイン１４回個までOKです、１５個なら駄目。
ここで問題文にあるように、正しい重さのコインを別にいっぱい持ってるなら一発で解けます。しかし全く持ってなければ出来ない。でも…実はそれを１枚だけ持っていれば偽コインを判断出来るルートがあるのです。
ではどうすれば良いのか、解答に辿り着いた人はこちらも考えてみて下さい。左に傾いたとき、右に傾いたとき、釣り合ったとき、コインの可能性はどうなっているか？を考えれば「可能性の分割」というのが良く解るはず。
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kikki
今気付いたけど問題の題名「分銅パズルの法則」じゃなくて「天秤パズルの法則」って書きたかったんだ\(^o^)／
これ題名書きなおせないのね…とりあえず寝て来よう…。
これ題名書きなおせないのね…とりあえず寝て来よう…。
kikki
ちなみに１４枚＋正しい重さのコイン１枚、を持ってる際に３回で測る方法を書いておきます。
真偽の解らないコインに「１〜１４」まで番号をつけます。正しいと解ってるコインを「Ｔ」などと呼ぶことにします。
[手順１] １〜５までのコインを左に、６〜９＋Ｔのコインを右に置きます。釣り合った場合は、解答説明と同様の手順を踏みます。では、傾いた場合にはどうなるか？ですね。左に傾いたとして次へ、
[手順２]１〜３までのコインと＋６〜８の計６枚のコインを左へ、９〜１４＋Ｔの計６枚のコインを右に置きます。ちなみに９〜１４のコインは１回目に傾いたことから、重さが正しいと解っています。
真偽の解らないコインに「１〜１４」まで番号をつけます。正しいと解ってるコインを「Ｔ」などと呼ぶことにします。
[手順１] １〜５までのコインを左に、６〜９＋Ｔのコインを右に置きます。釣り合った場合は、解答説明と同様の手順を踏みます。では、傾いた場合にはどうなるか？ですね。左に傾いたとして次へ、
[手順２]１〜３までのコインと＋６〜８の計６枚のコインを左へ、９〜１４＋Ｔの計６枚のコインを右に置きます。ちなみに９〜１４のコインは１回目に傾いたことから、重さが正しいと解っています。
kikki
[手順２の結果と手順３]
左に傾いた場合、１〜３の中に１枚重いコインがあることが解り、ここからは後１回天秤を使えば判別出来ます。
右に傾いた場合、６〜８の中に１枚軽いコインがありことが解り、これも同様に後１回で判別出来るはず。
釣り合った場合、残っている可能性としては、４・５のどちからが重いか、あるいは９のコインが軽いか、の３つの可能性が考えれらます。
なので４のコインを左に、５のコインを右に置けば、いずれのパターンか判断出来ると思われます。
左に傾いた場合、１〜３の中に１枚重いコインがあることが解り、ここからは後１回天秤を使えば判別出来ます。
右に傾いた場合、６〜８の中に１枚軽いコインがありことが解り、これも同様に後１回で判別出来るはず。
釣り合った場合、残っている可能性としては、４・５のどちからが重いか、あるいは９のコインが軽いか、の３つの可能性が考えれらます。
なので４のコインを左に、５のコインを右に置けば、いずれのパターンか判断出来ると思われます。
kikki
途中で切れてた…、ちなみに手順１で右に傾いたとしても対称な法則が成り立つだけなので説明略。
ちなみにこの問題（天秤５回）については、解答では非常にセコイと思われる手を使って説明していますが、こちらに関しても正しい重さのコインを１枚持っていれば解決出来ると思われます。
ちなみにこの問題（天秤５回）については、解答では非常にセコイと思われる手を使って説明していますが、こちらに関しても正しい重さのコインを１枚持っていれば解決出来ると思われます。
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