解答数
63
歴代 15053位 / 16,274
FILE No.12356REOPENED
「鬼ごっこ」について真剣に考えてみますた。
その他出題 kikki2010-05-28
事件概要
問題１：
下図のように半径Ｌ(ｍ)のグラウンドがあり、Ｂ君は速度Ｖ2(ｍ/秒)でＡ君を追いかけ、Ａ君は速度Ｖ1(ｍ/秒)でＢ君から逃げることする。
Ｂ君は最短時間でＡ君に追いつく戦略を取り、逆にＡ君は捕まる時間が最長になるように走る(注：詳しくはコメントを参照して下さい)。また半径Ｌ(ｍ)の円の外に出ることは出来ない、Ｂ君は円の中心、Ａ君は円周上からスタートする。このときＢ君がＡ君に追いつく時間は何秒か？
グラウンドの半径が１００ｍ、Ａ君・Ｂ君は１００ｍ当たり１６秒の速さで走るとして計算して下さい。また円周率はπ＝3.14と近似して下さい。
問２：
２人の速度を現実的に変更するために、Ａ君をウサギに、Ｂ君をヒョウに変更し、半径４００ｍのサバンナを想定します。ヒョウとウサギのスタート地点やルールは問１と同様。
ヒョウは１００ｍ当たり４秒で走り、ウサギは１００ｍ当たり８秒で走るものとする(要は走る速さの比を２：１にしたかったので)、このときヒョウがウサギを捕まえる時間は何秒か？
そしてお馴染みの解答方法ですが…えーと、今までの問題と形式を揃えたいと思うので、両方とも小数第二位を四捨五入で、第一位まで求めて、小数点抜いて半角数字で連続入力(正答率の問題と同様に。)
例えば、問１が２０、３秒 問２が１４、５秒なら→「203145」と入力。
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えーと…、「色塗り」「ボール２」に続く鬼畜問題第３弾です…(´Д`)。というかこんな問題になると思ってなかったんですよ出題者も…、まぁ問題考えてみたときに若干微分積分は入ってくるかもしれないな…とか思ってたんですが、最終的に「変数分離法」とか「逆三角関数の微分公式」を使いますた。
でも結果的に解ったことなんですが、これ、円周角・中心角の性質を使えば、中学数学でも何とかなる…気がします、きっと。解法も出題者がやった方法以外に様々ありそうな気がします、効率良い方法があれば教えて頂ければ幸い。
まぁ…毎回僕の問題を解いてくれてる方への挑戦状みたいなもんですね…、こんな問題ここに出して良いのかとか思いましたが、なんかノリで…(だって鬼ごっこの問題だし)。数?まで習ってそれ以上をやってない方は上の青字のワードをググってみて下さい。あと単純な物理法則（速度は位置の時間微分・ベクトル量である）とか、極座標的な知識とかも忘れずに。
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下図のように半径Ｌ(ｍ)のグラウンドがあり、Ｂ君は速度Ｖ2(ｍ/秒)でＡ君を追いかけ、Ａ君は速度Ｖ1(ｍ/秒)でＢ君から逃げることする。
Ｂ君は最短時間でＡ君に追いつく戦略を取り、逆にＡ君は捕まる時間が最長になるように走る(注：詳しくはコメントを参照して下さい)。また半径Ｌ(ｍ)の円の外に出ることは出来ない、Ｂ君は円の中心、Ａ君は円周上からスタートする。このときＢ君がＡ君に追いつく時間は何秒か？
グラウンドの半径が１００ｍ、Ａ君・Ｂ君は１００ｍ当たり１６秒の速さで走るとして計算して下さい。また円周率はπ＝3.14と近似して下さい。
問２：
２人の速度を現実的に変更するために、Ａ君をウサギに、Ｂ君をヒョウに変更し、半径４００ｍのサバンナを想定します。ヒョウとウサギのスタート地点やルールは問１と同様。
ヒョウは１００ｍ当たり４秒で走り、ウサギは１００ｍ当たり８秒で走るものとする(要は走る速さの比を２：１にしたかったので)、このときヒョウがウサギを捕まえる時間は何秒か？
そしてお馴染みの解答方法ですが…えーと、今までの問題と形式を揃えたいと思うので、両方とも小数第二位を四捨五入で、第一位まで求めて、小数点抜いて半角数字で連続入力(正答率の問題と同様に。)
例えば、問１が２０、３秒 問２が１４、５秒なら→「203145」と入力。
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えーと…、「色塗り」「ボール２」に続く鬼畜問題第３弾です…(´Д`)。というかこんな問題になると思ってなかったんですよ出題者も…、まぁ問題考えてみたときに若干微分積分は入ってくるかもしれないな…とか思ってたんですが、最終的に「変数分離法」とか「逆三角関数の微分公式」を使いますた。
でも結果的に解ったことなんですが、これ、円周角・中心角の性質を使えば、中学数学でも何とかなる…気がします、きっと。解法も出題者がやった方法以外に様々ありそうな気がします、効率良い方法があれば教えて頂ければ幸い。
まぁ…毎回僕の問題を解いてくれてる方への挑戦状みたいなもんですね…、こんな問題ここに出して良いのかとか思いましたが、なんかノリで…(だって鬼ごっこの問題だし)。数?まで習ってそれ以上をやってない方は上の青字のワードをググってみて下さい。あと単純な物理法則（速度は位置の時間微分・ベクトル量である）とか、極座標的な知識とかも忘れずに。
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封印された解答を開く
251167
ヒントノーヒント
解説Ａの速度をＶ1（ｍ/ｓ）、Ｂの速度をＶ2（ｍ/ｓ）、半径をＬ（ｍ）とする。
Ａの角速度をωとすると、ω×Ｌ＝Ｖ1
Ｂ君は、Ａ君の角速度と同じになるように走れば良く、また円の外方向への速度をＶr、居る地点の半径をＲとすると、
Ｖ2＝√((ωＲ)^2＋Ｖr^2) が成り立つ、これを変形しして、
Ｖr＝√(Ｖ2^2−(ωＲ)^2)
Ｖr＝dＲ/dｔなので
dＲ/dｔ＝√(Ｖ2^2−(ωＲ)^2)
変数分離法により、
ｄｔ＝ｄＲ/√(Ｖ2^2−(ωＲ)^2) で両辺を積分すれば、ｔ[０→Ｔ] Ｒ[０→Ｌ]
Ｔ＝(Ｌ/Ｖ1) Arcsin(Ｖ1/Ｖ2)
((Arcsinx)'＝１／√(1−ｘ^2))を用いました、
これに問１ Ｌ＝100 Ｖ1＝Ｖ2＝100/16 を代入すると、１６×π/２≒２５、１（ｓ）
問２ Ｌ＝400 Ｖ1＝100/8 Ｖ2＝100/4 を代入す
と ３２×π/6≒１６、７（ｓ）
若干式に出てくるＶ1の位置が気持ち悪いのですが、Ｖ1が大きくなればＴも大きくなると考えられ、実際 arcsin(ｘ)/ｘ は単調増加(エクセルで検算しただけですが)します。
また図を描いてみると解ると思いますが、Ｂ君の動く奇跡はある点を中心とした円周上です。
又、問１ではＡ君は９０°回転した位置に来ており、また問２ではウサギは丁度３０°回転した位置にきます。
(Ｌ/Ｖ1) Arcsin(Ｖ1/Ｖ2) という式を分析してみると、Ｖ1とＶ2による比で逃げる側が何度回転するか？が決まり、それにＬを掛けているのでこれが逃げる側の移動する距離です。これをＶ1で割れば捕まる時間が求まる、という仕組みかなと、考えてみました。
５／３１日。
と、上記のような考えでやっていたのですが、Ａ君の逃げ方(もっと長い時間逃げる方法はないか？)の検証がちょっと間違ってるような気がしてきました…。同じ角速度でも、円の内側にいるＢ君の方が外方向への速度ベクトルは常に大きいと考えられると思うのですが…。
Ａの角速度をωとすると、ω×Ｌ＝Ｖ1
Ｂ君は、Ａ君の角速度と同じになるように走れば良く、また円の外方向への速度をＶr、居る地点の半径をＲとすると、
Ｖ2＝√((ωＲ)^2＋Ｖr^2) が成り立つ、これを変形しして、
Ｖr＝√(Ｖ2^2−(ωＲ)^2)
Ｖr＝dＲ/dｔなので
dＲ/dｔ＝√(Ｖ2^2−(ωＲ)^2)
変数分離法により、
ｄｔ＝ｄＲ/√(Ｖ2^2−(ωＲ)^2) で両辺を積分すれば、ｔ[０→Ｔ] Ｒ[０→Ｌ]
Ｔ＝(Ｌ/Ｖ1) Arcsin(Ｖ1/Ｖ2)
((Arcsinx)'＝１／√(1−ｘ^2))を用いました、
これに問１ Ｌ＝100 Ｖ1＝Ｖ2＝100/16 を代入すると、１６×π/２≒２５、１（ｓ）
問２ Ｌ＝400 Ｖ1＝100/8 Ｖ2＝100/4 を代入す
と ３２×π/6≒１６、７（ｓ）
若干式に出てくるＶ1の位置が気持ち悪いのですが、Ｖ1が大きくなればＴも大きくなると考えられ、実際 arcsin(ｘ)/ｘ は単調増加(エクセルで検算しただけですが)します。
また図を描いてみると解ると思いますが、Ｂ君の動く奇跡はある点を中心とした円周上です。
又、問１ではＡ君は９０°回転した位置に来ており、また問２ではウサギは丁度３０°回転した位置にきます。
(Ｌ/Ｖ1) Arcsin(Ｖ1/Ｖ2) という式を分析してみると、Ｖ1とＶ2による比で逃げる側が何度回転するか？が決まり、それにＬを掛けているのでこれが逃げる側の移動する距離です。これをＶ1で割れば捕まる時間が求まる、という仕組みかなと、考えてみました。
５／３１日。
と、上記のような考えでやっていたのですが、Ａ君の逃げ方(もっと長い時間逃げる方法はないか？)の検証がちょっと間違ってるような気がしてきました…。同じ角速度でも、円の内側にいるＢ君の方が外方向への速度ベクトルは常に大きいと考えられると思うのですが…。
捜査データ
正解数
1
正解率
2%
その他カテゴリ平均 18%
評価
0 pt ／ 歴代 13263位
Good / Bad
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コメント
7
証言記録
正解率
2%
証言記録 (7)
kikki
追記：
改めて考えてみたのですが、自分がやってみた方法でのＡ君の逃げ方が最善ではない気がしてきました(-＿-;)…。
再度要検討かなと思いますが、とりあえずＡ君は円周上を走り続けるもの(設定としての答えはそうなってます。)と考えて下さい。
そうである場合は、Ａ君とＢ君の速さが同じでも、有限時間内で捕まります。
改めて考えてみたのですが、自分がやってみた方法でのＡ君の逃げ方が最善ではない気がしてきました(-＿-;)…。
再度要検討かなと思いますが、とりあえずＡ君は円周上を走り続けるもの(設定としての答えはそうなってます。)と考えて下さい。
そうである場合は、Ａ君とＢ君の速さが同じでも、有限時間内で捕まります。
kikki
あっと、円周上を走り続けると言っても、Ｂ君から逃げる方向に走りますので…^^:。左周りか、右回りかですね。
なので加速度たる概念は一切無視して考えて下さい。ある方向へ一定の速度Ｖ1orＶ2で走り続けるものとします。
なので加速度たる概念は一切無視して考えて下さい。ある方向へ一定の速度Ｖ1orＶ2で走り続けるものとします。
若
A君の観察力如何というところですね。
A君が挙動不審な行動をとれば、結局半径の距離とほぼ変わらずB君はA君に辿りつけますので、それをA君が理解していれば、問題の通りとなると思います。
B君の軌跡がどのような形になるかは想像ついているのに、その計算方法が exactに定まらないこのもどかしさ…
鬼畜な問題を見つけてしまってkikkiさんを呪おうかと思っているこの頃です^^
A君が挙動不審な行動をとれば、結局半径の距離とほぼ変わらずB君はA君に辿りつけますので、それをA君が理解していれば、問題の通りとなると思います。
B君の軌跡がどのような形になるかは想像ついているのに、その計算方法が exactに定まらないこのもどかしさ…
鬼畜な問題を見つけてしまってkikkiさんを呪おうかと思っているこの頃です^^
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kikki
コメントどうもです_(._.)_
ただ…考え直せば考え直す程、作った解答が間違ってそうな気がしてきました…^^;
解答としてはＡ君の動き方は下記の通りですし、またＢ君はＡ君と中心とを結ぶ直線上を走るもの、として答えを用意したのですが、それが最善手であるかの検証・証明が不十分だったような気がしますね…。そこが誤っていそうな気がしてきました…。
ただ…考え直せば考え直す程、作った解答が間違ってそうな気がしてきました…^^;
解答としてはＡ君の動き方は下記の通りですし、またＢ君はＡ君と中心とを結ぶ直線上を走るもの、として答えを用意したのですが、それが最善手であるかの検証・証明が不十分だったような気がしますね…。そこが誤っていそうな気がしてきました…。
kikki
とりあえず現状の答えの設定としては、Ａ・Ｂ君がそのように走るもの…として算出される値になってます(その部分についてはおそらく正しいと思うのですが。)
つまりＢ君とＡ君の走る「角速度」は常に一定になる訳ですけど、そうするためにはＢ君が円の外側に行けばいくほどＢ君の「角方向(？)への速度」はどんどんと大きくなっていくことになります。
とすると逆に「Ｂ君がＡ君へ近づく速度」は外に行けばいくほど、遅くなってしまいますよね。ここに「ベクトル」や「微分積分」の考え方を使って問題を解いていくことになります。
つまりＢ君とＡ君の走る「角速度」は常に一定になる訳ですけど、そうするためにはＢ君が円の外側に行けばいくほどＢ君の「角方向(？)への速度」はどんどんと大きくなっていくことになります。
とすると逆に「Ｂ君がＡ君へ近づく速度」は外に行けばいくほど、遅くなってしまいますよね。ここに「ベクトル」や「微分積分」の考え方を使って問題を解いていくことになります。
アガサ正解者 やっとのことで
正解できました。
ずっと追い方がちがうのを考えていて鬼のような式がでてきましたｗｗ
でも、完全に勘違いなので気にしないでください。
逃げ方は、円内を考慮するともっと早く逃げれる方法がありそうですね。とか書くとさらなる難問に仕上げられそうで、怖いですが…(笑)
ちなみに箱の問題の犯人は僕です。4回も押してしまって名乗りにくかったんです＞＜すいませんでした。
いつもkikkiさんの問題楽しませてもらってます。またよろしくお願いします＾＾
ずっと追い方がちがうのを考えていて鬼のような式がでてきましたｗｗ
でも、完全に勘違いなので気にしないでください。
逃げ方は、円内を考慮するともっと早く逃げれる方法がありそうですね。とか書くとさらなる難問に仕上げられそうで、怖いですが…(笑)
ちなみに箱の問題の犯人は僕です。4回も押してしまって名乗りにくかったんです＞＜すいませんでした。
いつもkikkiさんの問題楽しませてもらってます。またよろしくお願いします＾＾
kikki
解答者が出ていてちょっと感動致しました、
けれども何か敗北にも似たような哀愁を感じるのは何故でしょう…良く解りません。
アガサさん＞お疲れ様でした<(￣∇￣)
＞「逃げ方は、円内を考慮すると」
はそうなんですよね、Ａ君が一回円の少し内側に入り込んで、徐々に半径を広げながら逃げていくとどうなんだろう…というのがまた検討仕切れてないんっすよね(￣ρ￣)、自分の数学力ではちょいと限界かもです。
Ａ君は、Ｂ君との距離を最長にするように逃げる、とすれば解答のようになるのかなと。
けれども何か敗北にも似たような哀愁を感じるのは何故でしょう…良く解りません。
アガサさん＞お疲れ様でした<(￣∇￣)
＞「逃げ方は、円内を考慮すると」
はそうなんですよね、Ａ君が一回円の少し内側に入り込んで、徐々に半径を広げながら逃げていくとどうなんだろう…というのがまた検討仕切れてないんっすよね(￣ρ￣)、自分の数学力ではちょいと限界かもです。
Ａ君は、Ｂ君との距離を最長にするように逃げる、とすれば解答のようになるのかなと。
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