解答数
178
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FILE No.15563REOPENED
確率の有名問題３
論理出題 kikki2011-05-15
事件概要
あんまり問題１・問題２の正解者も少ないですが…１・２だけでは中途半端な感じなので３問目(これで終わりの予定)。 ちなみに問１は「食玩問題」、問２は「誕生日攻撃」、問３は「このサイトの過去問」が元になっています。
問題：
箱の中に１〜１００までの数字が書かれたボールが１つずつ入っているとする。この中から１つボールを取り出し、書かれている数字を記録してボールを箱の中に戻す。この試行を１００回繰り返す。
このとき異なる数字のボールがいくつ出現したかを数える。その期待値を求めて下さい。小数第二位を四捨五入して、小数第一位まで半角数字で答えて下さい。小数点はピリオド「.」を半角で使って下さい。
数学の問題というよりは、こういう至極単純なことを日常的な感覚で推測出来るものかどうか？推測した値と計算された値はどれくらい一致しているのか？というところを大事にしてほしいなぁと思います。(問題１・問題２も同様に)
エクセルを使って(乱数発生により)推定してみよう、という人のためのヒント。＝RANDBETWEEN(1,100) で１〜100までの整数をランダムに発生させることが出来ます(F9ボタンで再計算)。また、＝SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A1:A100,A1:A100)) でセルA1〜セルA100 にあるデータの種類を数えることが出来ます。これらの機能を上手く使ってみて下さい。
ただし小数第一位までの値をきちんと求めようとすると5万回ぐらいやって平均取らないと信用のある数値にはなりません(標準偏差が3.1程度なので)。これを計算しようとするとマクロを使わないとちょっとキツいです、がまぁエクセル上で数回計算しても大体の目安にはなると思います。
ちなみに論理的に解くことも可能ですので、出来る人は頑張ってみて下さい。(出題者は乱数発生で10万回試行＋論理計算の両方でやってます。)
ついでに5万回ぐらいやらないと…の根拠ですが、母集団の標準偏差をσとすれば、その中のｎ個の標本平均の標準偏差は、σ/√ｎ で与えられるというそんな定理がなんかあります(尚且つｎを大きくすると正規分布に近づいでいく、中心極限定理)。つまりこの問題について、100回分のデータを集めたとすると、100回のデータの平均の標準偏差は 3.1/√100＝0.31 となります。従って真の期待値から 0.5 ぐらいはズレている可能性があると覚悟しなければなりません。(とは言え10回ぐらい回答連打すれば十分ですが)。そして小数第一位まで信頼出来る値を求めるためには、標準偏差は 0.01 程度に抑えたい訳です。とすれば5万回程度のデータを集める必要がある、訳ですね。
問題：
箱の中に１〜１００までの数字が書かれたボールが１つずつ入っているとする。この中から１つボールを取り出し、書かれている数字を記録してボールを箱の中に戻す。この試行を１００回繰り返す。
このとき異なる数字のボールがいくつ出現したかを数える。その期待値を求めて下さい。小数第二位を四捨五入して、小数第一位まで半角数字で答えて下さい。小数点はピリオド「.」を半角で使って下さい。
数学の問題というよりは、こういう至極単純なことを日常的な感覚で推測出来るものかどうか？推測した値と計算された値はどれくらい一致しているのか？というところを大事にしてほしいなぁと思います。(問題１・問題２も同様に)
エクセルを使って(乱数発生により)推定してみよう、という人のためのヒント。＝RANDBETWEEN(1,100) で１〜100までの整数をランダムに発生させることが出来ます(F9ボタンで再計算)。また、＝SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A1:A100,A1:A100)) でセルA1〜セルA100 にあるデータの種類を数えることが出来ます。これらの機能を上手く使ってみて下さい。
ただし小数第一位までの値をきちんと求めようとすると5万回ぐらいやって平均取らないと信用のある数値にはなりません(標準偏差が3.1程度なので)。これを計算しようとするとマクロを使わないとちょっとキツいです、がまぁエクセル上で数回計算しても大体の目安にはなると思います。
ちなみに論理的に解くことも可能ですので、出来る人は頑張ってみて下さい。(出題者は乱数発生で10万回試行＋論理計算の両方でやってます。)
ついでに5万回ぐらいやらないと…の根拠ですが、母集団の標準偏差をσとすれば、その中のｎ個の標本平均の標準偏差は、σ/√ｎ で与えられるというそんな定理がなんかあります(尚且つｎを大きくすると正規分布に近づいでいく、中心極限定理)。つまりこの問題について、100回分のデータを集めたとすると、100回のデータの平均の標準偏差は 3.1/√100＝0.31 となります。従って真の期待値から 0.5 ぐらいはズレている可能性があると覚悟しなければなりません。(とは言え10回ぐらい回答連打すれば十分ですが)。そして小数第一位まで信頼出来る値を求めるためには、標準偏差は 0.01 程度に抑えたい訳です。とすれば5万回程度のデータを集める必要がある、訳ですね。
封印された解答を開く
63.4
ヒントないれす
時間が経てばコメント欄の方に載せていきます。
時間が経てばコメント欄の方に載せていきます。
解説(1−(99/100)^100)×100 を計算すれば良く 約63.4 となります。
以下、解法。少々荒っぽいです、暇なときに修正していきます。まずは １の数字が書かれたボールだけに注目します(別にどのボールでも良いのですが、とにかく１つのボールだけに着目して考えを進めていきます)。
そして100回ボールを出し入れする試行を繰り返すとき、１のボールが１回以上取り出される確率は、(1−(99/100)^100)…<<?>> となります(過去問参照、このサイトで少なくても２回出題されています)。
式の形としてはこれに×100となっていますが、ボールが100個あるから単純に100倍すれば良い…という訳ではありません。
(期待値の線形性どうこうという話は成り立たない…と思うのですが、少々自信がないので間違っていれば指摘頂けると有難いです。m(_ _)m)
さてさて上の話は一旦置いておきまして、本題(異なる数字がいくつ出るか？という問題)に戻り、ｎ個の異なる数字が出る確率をｐ(ｎ)で表すことにします。
例えば ｐ(20) というのは、100回の試行の中で20種類のボールだけが出し入れを繰り返される、という現象が起こる確率を表しています。
そしてこれから、１のボールが１回以上取り出される確率というのをｐ(ｎ)で表すことを考えます。
結果を先に書くと、p(１)×1/100＋ｐ(２)×2/100＋ｐ(３)×3/100＋……＋ｐ(99)×99/100＋ｐ(100)×100/100 ＝ Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ)/100…<<?>> となります。
式の意味するところを左の項から順番に説明すると、ｐ(１) というのは 100回の試行の中でたった１つのボールだけが出し入れされる、という現象が起こる確率でした。
これが１の数字が書かれたボールである確率は当然 1/100 となりますので、これを掛けます。
続いての二項目も同様に、100回の試行中に２種類のボールだけが出し入れされる確率(ｐ(２))×その２種類の中に１の数字のボールが含まれる確率(2/100) を表しています。
これをｐ(１)×1/100 〜 ｐ(100)×100/100 まで足し合わせることにより、１のボールが１回以上取りだされる確率をｐ(ｎ)で表現することが出来ますよね。
ところで先程の<<?>>は、<<?>>で求めた確率と同様の現象を表しています。すなわち ?＝? ですから。
Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ)/100 ＝ (1−(99/100)^100) が成立します。この両辺に ×100 をすると、Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ) ＝ 100×(1−(99/100)^100)…<<?>>。
ではでは、何度も話が行ったり来たりで解りにくいかもしれませんが、もう一度、異なる数字がいくつ出るか？の期待値について考えてみます。
本題の期待値を説明すれば、Σ[k＝1〜100] (出現した異なるボールの数)×(←この現象が起こる確率) だったはずで、これをｐ(ｎ)を用いると、
Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ) となるはずなのです。ところでこれは、<<?>>で述べた等式の左辺に他ならないのです。
従って、出現した異なるボールの数の期待値は、100×(1−(99/100)^100)≒63.4 でした！
マクロで書いたプログラミングも貼ろうか悩みましたが、文字数足りないのと"需要"という観点から辞めておきます。
以下、解法。少々荒っぽいです、暇なときに修正していきます。まずは １の数字が書かれたボールだけに注目します(別にどのボールでも良いのですが、とにかく１つのボールだけに着目して考えを進めていきます)。
そして100回ボールを出し入れする試行を繰り返すとき、１のボールが１回以上取り出される確率は、(1−(99/100)^100)…<<?>> となります(過去問参照、このサイトで少なくても２回出題されています)。
式の形としてはこれに×100となっていますが、ボールが100個あるから単純に100倍すれば良い…という訳ではありません。
(期待値の線形性どうこうという話は成り立たない…と思うのですが、少々自信がないので間違っていれば指摘頂けると有難いです。m(_ _)m)
さてさて上の話は一旦置いておきまして、本題(異なる数字がいくつ出るか？という問題)に戻り、ｎ個の異なる数字が出る確率をｐ(ｎ)で表すことにします。
例えば ｐ(20) というのは、100回の試行の中で20種類のボールだけが出し入れを繰り返される、という現象が起こる確率を表しています。
そしてこれから、１のボールが１回以上取り出される確率というのをｐ(ｎ)で表すことを考えます。
結果を先に書くと、p(１)×1/100＋ｐ(２)×2/100＋ｐ(３)×3/100＋……＋ｐ(99)×99/100＋ｐ(100)×100/100 ＝ Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ)/100…<<?>> となります。
式の意味するところを左の項から順番に説明すると、ｐ(１) というのは 100回の試行の中でたった１つのボールだけが出し入れされる、という現象が起こる確率でした。
これが１の数字が書かれたボールである確率は当然 1/100 となりますので、これを掛けます。
続いての二項目も同様に、100回の試行中に２種類のボールだけが出し入れされる確率(ｐ(２))×その２種類の中に１の数字のボールが含まれる確率(2/100) を表しています。
これをｐ(１)×1/100 〜 ｐ(100)×100/100 まで足し合わせることにより、１のボールが１回以上取りだされる確率をｐ(ｎ)で表現することが出来ますよね。
ところで先程の<<?>>は、<<?>>で求めた確率と同様の現象を表しています。すなわち ?＝? ですから。
Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ)/100 ＝ (1−(99/100)^100) が成立します。この両辺に ×100 をすると、Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ) ＝ 100×(1−(99/100)^100)…<<?>>。
ではでは、何度も話が行ったり来たりで解りにくいかもしれませんが、もう一度、異なる数字がいくつ出るか？の期待値について考えてみます。
本題の期待値を説明すれば、Σ[k＝1〜100] (出現した異なるボールの数)×(←この現象が起こる確率) だったはずで、これをｐ(ｎ)を用いると、
Σ[k＝1〜100] ｋｐ(ｋ) となるはずなのです。ところでこれは、<<?>>で述べた等式の左辺に他ならないのです。
従って、出現した異なるボールの数の期待値は、100×(1−(99/100)^100)≒63.4 でした！
マクロで書いたプログラミングも貼ろうか悩みましたが、文字数足りないのと"需要"という観点から辞めておきます。
捜査データ
正解数
8
正解率
4%
論理カテゴリ平均 19%
評価
10 pt ／ 歴代 2511位
Good / Bad
6 / 0
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コメント
3
証言記録
正解率
4%
証言記録 (3)
ありだみかん正解者
これは複雑な計算をするまでもなく瞬殺でした。
パッと頭の中にある式が思い浮かびましたので・・・
ちなみにボールの数を限りなく多くしていくと、ある値に近づくんですよね。
パッと頭の中にある式が思い浮かびましたので・・・
ちなみにボールの数を限りなく多くしていくと、ある値に近づくんですよね。
ありだみかん
すみません。
下の「ボールの数を限りなく多くしていくと、ある値に近づく」というのはこの問題に関しては間違いでした。
発散してしまいますね。
ボール１つあたりの期待値がある値に近づくという意味でした。
下の「ボールの数を限りなく多くしていくと、ある値に近づく」というのはこの問題に関しては間違いでした。
発散してしまいますね。
ボール１つあたりの期待値がある値に近づくという意味でした。
けんぎ正解者
私は、ｎ回取り出したときの期待値を、ｎ＝０から順次１００まで求めるという簡単な方法（エクセルなら瞬時）でやってみましたが、あっているようです。
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