「２０１０」を使った整数問題

ヒント平方完成に、似た手法を取ります。

解説とりあえず分数のままでは非常に扱いが面倒臭いので、両辺に「２０１０ａｂ」を掛けて全部整数の式にしてしまいます。

１/ａ＋１/ｂ＝１/２０１０　両辺に×「２０１０ａｂ」
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２０１０ｂ＋２０１０ａ＝ａｂ　移項などして、整理。
　　　　　　↓
ａｂ−２０１０(ａ＋ｂ)＝０

ただここからの式変形の手法が中学数学を超えるレベル…かも。ここら辺は実際やったことがないと思いつかないかもしれません。どうするかと言うと上の式の両辺に「２０１０＾２」を加えます。(＾２は２乗の意)

ａｂ−２０１０(ａ＋ｂ)＋２０１０＾２＝２０１０＾２　左辺を因数分解して、
　　　　　　↓
(ａ−２０１０)×(ｂ−２０１０)＝２０１０＾２　右辺を素因数分解。
　　　　　　↓
(ａ−２０１０)×(ｂ−２０１０)＝２×２×３×３×５×５×６７×６７　　　　

ここからａとｂの候補を絞って、やや手作業的にですがａ−ｂが最小になるような値を考えていきます（ａ、ｂの組み合わせ自体は全部で４０通りある。）

例えば、
(ａ−２０１０)＝２×２×３×３×５×５＝９００
(ｂー２０１０)＝６７×６７＝４４８９
ここから、ａ＝９００＋２０１０＝２９１０、ｂ＝４４８９＋２０１０＝６４９９ という値などが式を満たします。

ａとｂの差が最小を満たすものは、
(ａ−２０１０)＝２×２×３×３×６７＝２４１２
(ｂ−２０１０)＝５×５×６７＝１６７５
であり、ここから、
ａ＝２４１２＋２０１０＝４４２２
ｂ＝１６７５＋２０１０＝３６８５
が正解です。