解答数
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整数問題vol.2
論理出題 凛2011-02-13
事件概要
難易度★★☆☆☆(記述試験なら★★★★☆)
問A
1〜2011までの整数から、連続する3つの整数の積をとる。
例：1011×1012×1013
この積が平方数となる場合は何通りあるか。
(平方数とは同じ数を二回かけた数のこと。)
問B
nを2以上の整数とする。
2^2^(n+1)-6を10で割った余りはいくらか。
※2^2^(n+1)は2の(2のn+1乗)を指す。
A,B順に解答せよ。
例：A0B0
半角英数を用いること。
問A
1〜2011までの整数から、連続する3つの整数の積をとる。
例：1011×1012×1013
この積が平方数となる場合は何通りあるか。
(平方数とは同じ数を二回かけた数のこと。)
問B
nを2以上の整数とする。
2^2^(n+1)-6を10で割った余りはいくらか。
※2^2^(n+1)は2の(2のn+1乗)を指す。
A,B順に解答せよ。
例：A0B0
半角英数を用いること。
封印された解答を開く
A0B0
ヒントBは特に簡単です。
悪くても10回やればあたりますので。
悪くても10回やればあたりますので。
解説今回も値を出すだけならば余裕なのですが、Aの証明は難しいと思います。
A.平方数となる場合が存在しないことを証明する。
自然数n≧2を用いて、
n-1,n,n+1の積を考える。
これが、
(n-1)n(n+1)=k^2(kは自然数)…①
と表わされるとする。
n,n-1は差が1ゆえ、最大公約数が1であるから、
互いに素である。n,n+1も同様。
つまり、(n-1)(n+1)とnは互いに素であると言える。
(n-1)(n+1)とnに共通因数が1以外にないので、
①が成り立つためには、n,n^2-1が共に平方数であることが必要である。
したがって、
n^2-1=m^2(mは自然数)とおける。
(n-1)^2<m^2<(n+1)^2ゆえ、
n-1<m<n+1 ∴m=n
しかし、n^2-1≠n^2ゆえ矛盾する。
よって3つの連続する自然数の積は平方数になり得ない。
B. n≧2ゆえ、
2^2^(n-1)-6
=16^2^(n-1)-6
いま、16の自然数乗の下一桁は必ず6になるので、
16^2^(n-1)-6の下一桁は0。
つまり、10で必ず割り切れる。
A.平方数となる場合が存在しないことを証明する。
自然数n≧2を用いて、
n-1,n,n+1の積を考える。
これが、
(n-1)n(n+1)=k^2(kは自然数)…①
と表わされるとする。
n,n-1は差が1ゆえ、最大公約数が1であるから、
互いに素である。n,n+1も同様。
つまり、(n-1)(n+1)とnは互いに素であると言える。
(n-1)(n+1)とnに共通因数が1以外にないので、
①が成り立つためには、n,n^2-1が共に平方数であることが必要である。
したがって、
n^2-1=m^2(mは自然数)とおける。
(n-1)^2<m^2<(n+1)^2ゆえ、
n-1<m<n+1 ∴m=n
しかし、n^2-1≠n^2ゆえ矛盾する。
よって3つの連続する自然数の積は平方数になり得ない。
B. n≧2ゆえ、
2^2^(n-1)-6
=16^2^(n-1)-6
いま、16の自然数乗の下一桁は必ず6になるので、
16^2^(n-1)-6の下一桁は0。
つまり、10で必ず割り切れる。
捜査データ
正解数
31
正解率
21%
論理カテゴリ平均 19%
評価
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Good / Bad
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コメント
6
証言記録
正解率
21%
証言記録 (6)
cyber7正解者
一発〜。
ありがとうございました。
ありがとうございました。
すけきよ正解者
確かに証明は難しいですね。
凛
>cyber7さん
まあ、簡単ですね。
>すけきよさん
A記述は東大入試レベルだと思います。よりも難しいかな？
まあ、簡単ですね。
>すけきよさん
A記述は東大入試レベルだと思います。よりも難しいかな？
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oxbow
2の2乗のn+1乗は4のn+1乗。
この場合、2の(2のn+1乗)乗では？
この場合、2の(2のn+1乗)乗では？
凛
>oxbowさん
あ、そうですね。日本語まちがってました。
修正しときます。
あ、そうですね。日本語まちがってました。
修正しときます。
かじ正解者
一発
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