解答数
132
歴代 12482位 / 16,274
FILE No.15422REOPENED
何回で超えるでしょうか？
その他出題 ありだみかん2011-04-26
事件概要
以前「少なくとも１回当たる確率は？」という問題を出題しましたが、
自分の中でもう一つ、是非出題しておきたい確率問題を思い出しました。
興味のある方は解いてみてください。
（これも高校生レベルだと思います。）
問題
ここに中の見えない箱に入ったｎ個のボールがあります。
ボールにはそれぞれ１〜ｎまでの数字が書かれており
同じ数字の重複はありません。
ｎ＝３なら???という３つのボールがあると思ってください。
この箱からランダムに１個ずつボールを取り出し
ボールに書かれている数字を足しあわせていきます。
ただし、引いたボールは毎回箱の中へ戻します。
その数字の合計が全ボールの個数ｎを超えた時点で終了とします。
さて、平均何回で終了するか、期待値を求めてください！と問いたいところですが
もう一歩踏み込みます。
実はｎを無限に大きくしていくとこの期待値はある値に収束します。
その値を答えてください。
全て半角にて解答して下さい。（小数は使わないこと）
※数学記号を使用する場合も半角で、
分数は「/」、巾乗は「^」を使用して下さい。
「()」を使う場合は必要最低限でお願いします。
自分の中でもう一つ、是非出題しておきたい確率問題を思い出しました。
興味のある方は解いてみてください。
（これも高校生レベルだと思います。）
問題
ここに中の見えない箱に入ったｎ個のボールがあります。
ボールにはそれぞれ１〜ｎまでの数字が書かれており
同じ数字の重複はありません。
ｎ＝３なら???という３つのボールがあると思ってください。
この箱からランダムに１個ずつボールを取り出し
ボールに書かれている数字を足しあわせていきます。
ただし、引いたボールは毎回箱の中へ戻します。
その数字の合計が全ボールの個数ｎを超えた時点で終了とします。
さて、平均何回で終了するか、期待値を求めてください！と問いたいところですが
もう一歩踏み込みます。
実はｎを無限に大きくしていくとこの期待値はある値に収束します。
その値を答えてください。
全て半角にて解答して下さい。（小数は使わないこと）
※数学記号を使用する場合も半角で、
分数は「/」、巾乗は「^」を使用して下さい。
「()」を使う場合は必要最低限でお願いします。
封印された解答を開く
e
ヒントプログラミングが得意な人は大きなｎで試してみるのも
一つの手かもしれません。
でも、これはちゃんと机上でも解ける問題です。
いろんな攻め方があると思いますが、
ｎ＝１、２、３、４、くらいまで試してみれば
ある法則性に気づくかも。
自身のある方はもちろん、そんな事せずに
いきなりアタックしても構いません。
一つの手かもしれません。
でも、これはちゃんと机上でも解ける問題です。
いろんな攻め方があると思いますが、
ｎ＝１、２、３、４、くらいまで試してみれば
ある法則性に気づくかも。
自身のある方はもちろん、そんな事せずに
いきなりアタックしても構いません。
解説なんと不思議なことに「e」に収束するんですね。
ｎが１億だろうが１兆だろうが平均２，３回で終了するんですね。
以下に求め方の一例を示しておきます。
※ちょっと雑な解答ですが、不明点や指摘事項はコメントまで
ボールを取り出していくある時点での数字の合計値がXであるときに
あと何個ボールを引くとnを超えるかの回数の期待値をE(X)とします。
すると現在の合計値Xがnならば次の１回で必ずnを超えるので
明らかにE(n)=1が成り立ちます。
次にX=n-1のときに起こりうる事象Ａ、Ｂ考えてみます。
事象Ａ：次に?以上の数字を引く。
事象Ｂ：次に?を引く。
このとき
事象Ａが起こる確率は?以外を引く確率なので(1-1/n)
事象Ｂが起こる確率は?を引く確率なので1/n
となります。
また
事象Ａが起きたとき必ずnを超えるので期待値は1
事象Ｂが起きたときは次のE(n)回でnを超えるので期待値は(1+E(n))
となります。
すなわち
E(n-1)=(1-1/n)*1+(1/n)*(1+E(n))
=1+(1/n)*E(n)
上記の漸化式より
E(X)=(1+1/n)E(X+1) (X=0,1,2,…,n-1)
が成り立つことがわかります。
そして
E(0)=(1+1/n)*E(1)=(1+1/n)*(1+1/n)*E(2)=…=(1+1/n)^n*E(n)
がわかります。
E(X)の定義より求める期待値はE(0)ですので
最初に示したE(n)=1より
ボールn個でやった場合の期待値は「(1+1/n)^n」となります。
ちなみに
n=1のとき2=(2/1)^1
n=2のとき9/4=(3/2)^2
n=3のとき64/27=(4/3)^3
n=4のとき625/256=(5/4)^4
のように試しに計算していっても、なんとなく予測出来そうですね。
さいごに
(1+1/n)^n (n→∞)
はもちろん「e」ですよね。
ｎが１億だろうが１兆だろうが平均２，３回で終了するんですね。
以下に求め方の一例を示しておきます。
※ちょっと雑な解答ですが、不明点や指摘事項はコメントまで
ボールを取り出していくある時点での数字の合計値がXであるときに
あと何個ボールを引くとnを超えるかの回数の期待値をE(X)とします。
すると現在の合計値Xがnならば次の１回で必ずnを超えるので
明らかにE(n)=1が成り立ちます。
次にX=n-1のときに起こりうる事象Ａ、Ｂ考えてみます。
事象Ａ：次に?以上の数字を引く。
事象Ｂ：次に?を引く。
このとき
事象Ａが起こる確率は?以外を引く確率なので(1-1/n)
事象Ｂが起こる確率は?を引く確率なので1/n
となります。
また
事象Ａが起きたとき必ずnを超えるので期待値は1
事象Ｂが起きたときは次のE(n)回でnを超えるので期待値は(1+E(n))
となります。
すなわち
E(n-1)=(1-1/n)*1+(1/n)*(1+E(n))
=1+(1/n)*E(n)
上記の漸化式より
E(X)=(1+1/n)E(X+1) (X=0,1,2,…,n-1)
が成り立つことがわかります。
そして
E(0)=(1+1/n)*E(1)=(1+1/n)*(1+1/n)*E(2)=…=(1+1/n)^n*E(n)
がわかります。
E(X)の定義より求める期待値はE(0)ですので
最初に示したE(n)=1より
ボールn個でやった場合の期待値は「(1+1/n)^n」となります。
ちなみに
n=1のとき2=(2/1)^1
n=2のとき9/4=(3/2)^2
n=3のとき64/27=(4/3)^3
n=4のとき625/256=(5/4)^4
のように試しに計算していっても、なんとなく予測出来そうですね。
さいごに
(1+1/n)^n (n→∞)
はもちろん「e」ですよね。
捜査データ
正解数
7
正解率
5%
その他カテゴリ平均 18%
評価
10 pt ／ 歴代 2506位
Good / Bad
6 / 0
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コメント
1
証言記録
正解率
5%
証言記録 (1)
すけきよ正解者
感覚的に納得できる結果でした。
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