このブラックボックス正体なーんだ？

ヒントｆ(１０)＝ｆ(９)×ｆ(１)＝ｆ(８)×ｆ(１)×ｆ(１)＝ｆ(７)×ｆ(１)×ｆ(１)×ｆ(１)＝…

解説ｆ(ｘ)＝２＾ｘ(２のｘ乗)という指数関数を、物凄く解りにくく遠まわしに説明してみました。

ｆ(０)＝１、つまり２の０乗は１。
ｆ(１)＝２、つまり２の１乗は２。
ちなみに２の２乗は４、ｆ(２)＝４。

「ｆ(１)×ｆ(８)＝ｆ(２)×ｆ(７)＝ｆ(３)×ｆ(６)＝ｆ(４)×ｆ(５)＝ｆ(９)」というのは、
　　　　　　↓
「２^１×２^８＝２^２×２^７＝２^３×２^６＝２^４×２^５＝２^９」
　　　　　　↓
「２×２５６＝４×１２８＝８×６４＝１６×３２＝５１２」

要するに「２^(ａ＋ｂ)＝２^ａ×２^ｂ」という指数法則を述べたもの、でした。終わり！


本当は「２のｘ乗」以外が答えになりえないことを証明すべきなのかもしれないですが面倒くさい、というよか微分方程式とか使わないと証明出来なかったはずなのでこの場では省略。そもそも問題に「全ての点で連続で微分可能である」とか言っとかなきゃいけなかった気がする。

一般的にｆ(ａ)ｆ(ｂ)＝f(ａ＋ｂ)の関数方程式を満たす解は、ｆ(ｘ)＝０あるいはｆ(ｘ)＝１の定数関数、もしくはＡを任意の正の実数としてｆ(ｘ)＝Ａ^ｘと表せる指数関数。問題文のｆ(１)＝２という条件から、ｆ(ｘ)＝２^ｘという一意の関数に定まります。

暇だったので証明↓
ｆ(ａ)ｆ(ｂ)＝f(ａ＋ｂ) に ｂ＝０を代入すると、ｆ(ａ)ｆ(０)＝ｆ(ａ)
f(ａ){f(０)−１＝０} より ｆ(０)＝１ 又は任意のａで ｆ(ａ)＝０
ｆ(１)＝２ より必ず f(０)＝１
(ｄ/ｄｘ)ｆ(ｘ)＝lim[h→0][{ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)}/ｈ]
＝lim[h→0][{ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)−ｆ(ｘ)}/ｈ]
＝lim[h→0]ｆ(ｘ)[{ｆ(ｈ)−１}/ｈ] また　ｆ(０)＝１から
＝lim[h→0]ｆ(ｘ)[{ｆ(ｈ)−ｆ(０)}/ｈ]
＝ｆ(ｘ)(ｄ/ｄｘ)ｆ(０)
(ｄ/ｄｘ)ｆ(０)　は定数なのでＡ'と置いて
(ｄ/ｄｘ)ｆ(ｘ)＝Ａ'ｆ(ｘ)
{１/ｆ(ｘ)}ｄｆ(ｘ)＝Ａ' ｄｘ 両辺を積分すると、
lnｆ(ｘ)＝Ａ'ｘ＋Ｃ (lnは自然対数、Ｃは積分定数)
ｆ(０)＝１ よりＣ＝０　よってｆ(ｘ)＝ｅ^Ａ'ｘ
ｆ(１)＝２　から　ｅ^Ａ'＝２　が求まる。