余り面白くない問題

ヒント答え方に捻りは何もありませんのでご了承ください。

計算すれば答えは確実に出せますから、ヒントというのもなんなのですが、
力技で全てを計算するのは骨が折れるでしょうから簡単に。

割った余り(剰余)の世界は閉じた世界です。
その中で計算している限りは、必ずその中だけで計算していけます。

これを広げていったものが、有限体という世界です。

解説答えはＡになりました。
せっかくのトランプ問題ですから軽く占い風に。

勘で入力した人:
　その直感が全てです。上手に世間を渡っていきましょう。
手で計算した人:
　本当にお疲れ様でした。その根気こそが開ける世界があると私は信じます。
電卓で計算した人:
　これを計算できる電卓を持っているあなたは道具選びに長けてますね。
　45bit以上の計算ができるものを選んだあなたの目は確かです。
剰余での性質を使った人:
　その知識と考え方を先へと進めれば、世の整数問題の全てを解ける日が来るかもしれません。
　世界の全ての暗号は、いずれあなたの手の中に収まるでしょう。
フェルマーの小定理を使った人:
　ちゃんと証明しましたか？
最初に0を答えてしまった人:
　11と13は互いに素ですから11をいくら掛けても13で割り切れるはずありません。
　うっかりハチベエの称号をあなたに差し上げます。

さて冗談はこれくらいにして、真面目に解説です。
(以下、"13 で割った余りが等しい"ことを示す相似記号として==を用います。
つまり「14 == 1」とは「14 ≡ 1 (mod 13)」を意味します。)
力技で計算した場合。冪乗していった結果は以下のようになります。

11^1 = 11 == 11
11^2 = 121 == 4
: (文字数制限のため省略)
11^12 = 3138428376721 == 1 (mod 13)

でもこんな膨大な桁数まで計算しなくても、剰余(割った余り)の中での計算はその中に閉じるという性質があります。
A = m×i + a
B = m×j + b
とした場合、足し算と同様
A×B = m×k + a*b ≡ a*b (mod m)
なので明かです。

そしてもっと簡単にこれを求める方法として、フェルマーの小定理を用いるという手がありますが、これを説明するには文字数が足りませんので検索してください。
(とフェルマー風に終らせる落ち)

11^13 == 11 です。Kがどう頑張ってもJはJなんですね。