解答数
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FILE No.16469REOPENED
2011年にちなんだ問題
論理出題 リョナルノスキー2011-10-28
事件概要
(1の2011乗）＋（2の2011乗）＋…＋（2010の2011乗）＋（2011の2011乗）
を11で割った余りを答えてください。
回答は半角の数字でお願いします。
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1
ヒント（nの2011乗）を上手く変形してみてください。
解説n^2011=(n^10)^201 * n
ここでフェルマーの小定理より、11の倍数でない整数nに関し、
n^10≡1 (mod 11)
となることから、nが11の倍数でない整数のとき、
n^2011≡1^201 * n≡n (mod 11)
となる。
また、nが11の倍数ならばn^2011≡0 (mod 11)
上記の議論より、
（与式）≡(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+0)*182 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9) (mod 11) （∵2011=11*182 + 9）
となるが、
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+0=55≡0 (mod 11)
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45≡1 (mod 11)
より、
（与式）≡1 (mod 11)
ここでフェルマーの小定理より、11の倍数でない整数nに関し、
n^10≡1 (mod 11)
となることから、nが11の倍数でない整数のとき、
n^2011≡1^201 * n≡n (mod 11)
となる。
また、nが11の倍数ならばn^2011≡0 (mod 11)
上記の議論より、
（与式）≡(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+0)*182 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9) (mod 11) （∵2011=11*182 + 9）
となるが、
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+0=55≡0 (mod 11)
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45≡1 (mod 11)
より、
（与式）≡1 (mod 11)
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野川太郎 簡単淡々担々麺
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