数学B

ヒント取り敢えず、√（11＋ａ＊2）＝ｋ　（ｋは自然数）
　とおいて、この式を二乗してみましょう。

解説√（11＋ａ＊2）＝ｋ　（ｋは自然数）
　　となるｋが存在すると仮定します。√が付いているのでｋがマイナスになることはありません。

　次に両辺を二乗します。
　すると
　　11＋ａ＊2＝ｋ＊2　　となります。

ａ＊2を両辺から引きます。（ａ＊2を移項します）

　　11＝ｋ＊2−ａ＊2＝（ｋ＋ａ）（ｋ−ａ）

　ここでｋ、ａともに自然数にならなければいけないのですから（ｋ＋ａ）、（ｋ−ａ）はともに自然数にならなければいけません。

また、二つの自然数の積が11になるのですから11×1しかありえません。

もちろん（ｋ−ａ）＜（ｋ＋ａ）なので

　　　ｋ−ａ＝１
　　　ｋ＋ａ＝１１

　この連立方程式をとけばａ＝５、ｋ＝６　になります。
　　　　∴　答えはａ＝5　です。

　もし、この式の途中で矛盾が起これば題意を満たすａは存在しなかったということになりました。